E. v. Weber: Kreisverwandtschaften. 
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K V £3 auch als die Potenzkreise der complesen Kreise Q 
und £} _1 bezeichnen. 
30. Die Annahme, dass Q eine Inversion bedeutet, erledigt 
sich sehr einfach; es genügt, das Resultat auszusprechen: Die 
direkten K V, die mit der Inversion Q vertauschbar sind, bilden 
eine dreigliedrige Gruppe, bestehend aus allen elliptischen 
Transformationen, deren Fixpunkte hinsichtlich Q invers sind; 
ist £} einteilig, so gibt es noch eine zweite dreigliedrige 
Gruppe dieser Art, bestehend aus den hyperbolischen Trans- 
formationen, deren Fixpunkte auf dem Kreis Q liegen. Die 
indirekten mit £} vertauschbaren Transformationen entstehen 
aus den genannten durch vorherige oder nachherige Multiplika- 
tion mit £}. 
31. Da die Vertauschbarkeit zweier KV eine reciproke 
Beziehung ist, so haben wir durch die Entwickelungen der 
Nr. 28 gleichzeitig die Aufgabe erledigt, alle indirekten Kreis- 
verwandtschaften ^ zu bestimmen, die mit einer direkten K V £1 
vertauschbar sind: Gilt die Relation (1) und bedeutet Q eine 
direkte, *ß eine indirekte KV, so ist 1) entweder Q hyper- 
bolisch, iß eine hyperbolische indirekte K V, die mit Q die 
Fixpunkte gemein hat, oder eine Inversion, deren einteilige 
Direktrix die Fixpunkte von Q enthält, oder 2) Q ist eine 
elliptische direkte, ^ß eine elliptische indirekte K V, die die 
Fixpunkte von Q zu Gegenpunkten hat, im Speziellen eine 
Inversion, die die Fixpunkte von Q vertauscht. 
Eine Möbiusinvolution ist darnach mit allen indirekten 
KV vertauschbar, die ihre Fixpunkte zu Gegenpunkten oder 
zu Fixpunkten haben. 
32. Auch der noch übrige Fall zweier vertauschbarer 
direkter KV erledigt sich aufs leichteste: 1 ) Zwei direkte KV 
sind dann und nur dann vertauschbar, wenn sie entweder die 
Fixpunkte gemein haben, oder wenn sie Möbiusinvolutionen 
sind, von denen jede die Fixpunkte der andern vertauscht. 2 ) 
*) C. Segre, Journ. f. Math. 100 p. 317—330. 
2 ) Zwei solche Involutionen sind nach Nr. 36 harmonisch; ihre Fix- 
punkte liegen ebenfalls harmonisch. 
