E. v. Weber: Kreisverwandtschaften. 
393 
allgemeinen direkten KV bleiben überhaupt keine reellen 
oder complexen Kreise invariant, bei einer hyperbolischen 
bezw. elliptischen direkten KV ^ nur diejenigen oo 2 Kreise, 
die die Fixpunkte von ‘iß zu Fix- bezw. Gegenpunkten haben, 
bei einer indirekten KV, die keine Inversion ist, nur deren 
reelle Fixkreise, endlich bei einer Inversion ‘'ß alle Kreise, 
deren Fixpunkte auf dem Kreise *iß, oder deren Gegenpunkte 
hinsichtlich invers liegen. 
Durch die Entwickelungen dieses Paragraphen ist gleich- 
zeitig die Aufgabe gelöst, alle Transformationen zu finden, 
die zwei äquivalente Kreisverwandtschaften “iß und 'iß' inein- 
ander überführen; ist nämlich Q eine bestimmte K V, die dies 
leistet, so erhält man die allgemeinste in der Form oder 
Q 91’, wo 91 bezw. 91' die allgemeinste K V bedeutet, die iß 
bezw. iß' invariant lässt. 
IV. Harmonische und associirte Kreisverwandtschaften; 
Büschel und Halbbüschel von Punktfeldern und complexen 
Kreisen. 
35. In Nr. 26 nannten wir zwei gleichartige Kreisverwandt- 
schaften iß und Q harmonisch, wenn *ß Q“ 1 und infolgedessen 
auch O -1 iß eine Möbiusinvolution ist. Sind ab c d bezw. 
a ß y d die Coefficienten der zu *iß bezw. Q gehörigen linearen 
Transformationen der complexen Variabein z, so lautet die 
Bedingung für die harmonische Lage 
(1) ab — by — cß-\-da = 0-, 
sie zerlegt sich in 2 reelle Gleichungen, es gibt also zu einer 
gegebenen KV oo 4 mit ihr gleichartige harmonische Kreis- 
verwandtschaften. 
Ist dagegen ’iß eine direkte, eine indirekte KV, so muss 
das Produkt ißQ -1 eine Inversion sein, wenn iß und Q har- 
monisch liegen sollen ; die Bedingungen liiefür lauten : 
