E. v. Weber: Kreisverwandtschaften. 
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nach Nr. 33 folgt also: Eine Möbiusinvolution ist dann und 
nur dann zu einer direkten K V harmonisch, wenn sie deren 
Fixpunkte vertauscht; jede direkte ÜTKkann also auf oo a Arten 
als Produkt zweier Möbiusinvolutionen dargestellt werden. 1 ) 
Jede indirekte KV bestimmt oo 1 zu ihr harmonische 
Möbiusinvolutionen; sie wurden in Nr. 33 unter 4) und 6) 
angegeben. 
Zu einer direkten hyperbolischen (bezw. elliptischen) K V 
mit den Fixpunkten (bezw. Gegenpunkten) M t Äf 2 , die keine 
Involution ist, gibt es oo 1 harmonische Inversionen, deren Kreise 
das Büschel mit den Grenzpunkten (bezw. Grundpunkten) 3I } M 2 
bilden; zu einer Möbiusinvolution gibt es zwei Schaaren von co 1 
harmonischen Inversionen. 
Eine indirekte iT Q, die keine Inversion ist, besitzt oo 1 
zu ihr harmonische Inversionen, deren Kreise das zu den Fix- 
kreisen von Q orthogonale reelle Büschel bilden. Sind A, Ä 
ein Paar von C, M x M 2 die Fixpunkte, so liegt der Punkt B', 
in den A durch eine jener oo 1 Inversionen übergeht, auf dem 
Kreis M x M 2 A, ebenso der Punkt B, in den Ä durch dieselbe 
Inversion transformirt wird, auf dem Kreise M 1 M 2 Ä\ daraus 
folgt: Schneidet ein beliebiger durch AA gelegter Kreis den 
Kreis M 1 M 2 A in B\ den Kreis Ji, J/ 2 A' in B, so ist BB> 
ein neues Paar von Cb Hieraus ergibt sich eine einfache Con- 
struktion der Punkte, die einem gegebenen Punkte J in Q 
vor- und rückwärts entsprechen, und zwar gilt das Vorige 
auch in dem Fall, dass die Punkte M 1 M 2 conjugirt imaginär, 
Q also elliptisch ist. 
37. Es möge hier auf diejenigen Kreisverwandtschaften, 
die zu ihrer inversen harmonisch sind, also eine Gleichung der 
Form CP = 3 erfüllen, und allgemeiner auf die Lösung der 
Gleichung CP = 9i, wo eine beliebig gegebene (natürlich 
direkte) KV bedeutet, mit ein paar Worten eingegangen 
werden. Soll die K V CI direkt sein, so hat sie mit die 
Fixpunkte gemein, und ihre Invariante hat einen der Werte 
*) Vgl. Segre a. a. 0. 
