E. v. Weber: Kreisverwandtschaften. 
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gehört, liegen zu AA und zu BB orthocyclisch. Nennt man 
also f die involutorische Transformation, die jedem Punkte P 
den zweiten Schnittpunkt der durch P gehenden Kreise zu- 
weist, die A von .4" bezw. B von B' harmonisch trennen, so 
sind die Fixpunktepaare der co 1 dem Büschel angehörenden 
elliptischen Transformationen identisch mit den gemeinsamen 
Paaren der beiden Verwandtschaften j und t. Verlegt man 
den einen Fixpunkt von j ins Unendliche und wählt den Co- 
ordinatenanfang wie in der vorigen Nr., versteht man ferner 
unter a, ß bezw. a, ß die Coordinaten von A bezw. Ä , und 
unter 7t, n' die Grössen a 2 -j- ß 2 , n‘ l -j- ß' 2 , so liefert die 
Gleichung (5) das reelle Kreisbüschel mit den Grenzpunkten 
A Ä , also Gleichung (6) den gesuchten Ort, der von den 
Schnittpunkten entsprechender Kreise des Büschels (5) und des 
zu ihm hinsichtlich 0 symmetrischen Büschels erfüllt wird. 
Wie oben schliesst man jetzt: 
Die Fixpunktepaare des co 1 elliptischen KV, die in einem 
Feldbüschel mit den Grundpunkten [AA] und | BB ] Vor- 
kommen, erfüllen eine bicirculare C i (eventuell eine circulare 
(7 3 ); dann und nur dann, wenn die Punkte AÄ BB auf einem 
Kreise K liegen, zerfällt diese C i und zwar in den reellen 
Kreis K’ , der A von B und B von Ä harmonisch trennt, 
sowie in den dazu orthogonalen reellen Kreis K ", hinsichtlich 
dessen A und Ä, sowie B und B inverse Punkte sind; von 
diesen Kreisen ist natürlich mindestens einer einteilig. 
45. Sind P, Q die Fixpunkte einer indirekten hyper- 
bolischen K V des complexen Kreisbüschels mit den Grund- 
punkten [AA], [BB'], so gilt nach Nr. 18 die Beziehung: 
d. h. Q entsteht aus P, indem man zunächst P vermöge j in 
P , sodann diesen letzteren Punkt mittels f in Q überführt. 
Offenbar ist f dann und nur dann, wenn die Punkte AA BB 
auf einem Kreise K hegen, eine Kreisverwandtschaft, nämlich 
die Inversion an K, und es ist dann das Produkt jf gleich 
der Inversion j, die A mit B und B mit A vertauscht; 
