■IW Sitzung der viath.-phys. Classe vom 9. November 1901. 
andernfalls stellt dies Produkt eine höhere birationale und 
augenscheinlich involutorische Transformation dar. 
Die Fixpunktepaare der indirekten hyperbolischen KV des 
Kreisbüschels mit den Grundpunkten [. AA '], [BB'] sind nach 
Xr. 18 identisch mit den Gegenpunktepaaren der indirekten 
elliptischen Transformationen des adjungirten Büschels. Be- 
deutet also wiederum i che Involution, die A mit A und 
B mit B’ vertauscht, ferner f ’ diejenige involutorische Ver- 
wandtschaft, die jedem Punkt P den zweiten Schnittpunkt 
der durch ihn gehenden Kreise zuweist, die A von B’ bezw. 
B von Ä harmonisch trennen, so sind irgend zwei Punkte 
P, P', die in der Beziehung 
P{it"}P' 
stehen, Gegenpunkte einer indirekten elliptischen KV, die dem 
Büschel mit den Grundpunkten [AA‘], [B B] angehört, und 
umgekehrt. 
In jedem von zwei adjungirten Kreisbüscheln sind oo l 
parabolische indirekte KV enthalten; der Ort der Fixpunkte 
der letzteren ist für beide Büschel die in Xr. 44 genannte 
Curve C v Bei cyclischer Lage der Punkte AA BB‘ zerfällt 
diese Curve in die oben definirten reellen Kreise K . K"\ doch 
ist für das Büschel mit den Grundpunkten [AA'], [BB '] nur 
der Kreis K ’ , sofern er einteilig ist, Fixpunktsort der in dem 
Büschel enthaltenen parabolischen Substitutionen, während K 
den Fixkreis der dem Büschel angehörigen Inversion darstellt; 
für das adjungirte Büschel vertauschen die Kreise K', K'' ihre 
Rollen. Die Transformationen f, (' werden nunmehr identisch 
mit der Inversion an dem Kreise K\ also ist j f die Inversion 
an K ' , und i t" die Inversion an K". 
In den drei letzten Xummern wurde vorausgesetzt, dass 
die vier Punkte ^1^4 BB sämtlich voneinander verschieden 
sind. Die Fälle, in denen zwei oder mehrere dieser Punkte 
coincidiren, geben zu trivialen Ausartungen der in Xr. 43 — 45 
besprochenen Punktörter Anlass, mit Ausnahme des Falles, 
dass ein Berührunsrsbüschel vorlieert; wir sredenken die Theorie 
