E. v. Weber: Kreisoerwandtschaften. 
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($, Iß) mit den Grundpunkten [AA], [B B ] gehört zwei und 
nur zwei Halbbüscheln ß, ß an, die ganz innerhalb des ge- 
gebenen Büschels liegen; sie sind beide durch die Gleichung 
Q = 9H)3 gegeben, wo 9i das einemal alle oo 1 elliptischen, 
das andremal die hyperbolischen zweispiegeligen Verwandt- 
schaften mit den Fixpunkten A , J3 durchläuft. Bedeutet (iß, ‘iß) 
ein Feldbüschel, so ist das zu ß harmonische Halbbüschel in- 
direkter Kreisverwandtschaften in dem Kreisbüschel mit den 
Grundpunkten [GH'], das zu ß' harmonische Halb- 
büschel in dem Kreisbüschel mit den Grundpunkten [AB ], [BA ] 
enthalten. Die Berührungsbüschel nehmen auch hier eine Aus- 
nahmestellung ein. 
50. Ist eine Kreisverwandtschaft zu einer mit ihr 
gleichartigen K V iß und einer ungleichartigen KV Q harmo- 
nisch, d. h. bestehen die Beziehungen: 
$' $-1=3; $' Q- 1 = J; Q- 1 $' = J\ 
worin G eine Möbiusinvolution, J und J Inversionen bedeuten, 
so ist 3 wegen 
‘ßQ- 1 $'$-i = - J" 
eine zu der indirekten Kreisverwandtschaft harmonische 
Möbiusinvolution, und umgekehrt. Wir nehmen zunächst an, 
dass diese indirekte K V keine Inversion, d. h. dass iß und 
nicht harmonisch seien. Je nachdem nun *ß Q _1 zwei einteilige 
Fixkreise oder nur einen besitzt, gibt es nach Nr. 33 zwei 
Schaaren von je oo 1 Möbiusinvolutionen der verlangten Art 
oder nur eine, und jede solche Schaar stellt ein Halbbüschel 
dar. Naöh dem Schlusssatz der Nr. 48 folgt jetzt: Die Kreis- 
verwandtschaften, die zu zwei ungleichartigen nicht harmoni- 
schen K V iß und Q gleichzeitig orthogonal sind, bilden vier 
bezw. zwei Halbbüschel, je nachdem das Produkt dem 
hyperbolischen oder elliptischen Typus angehört; zwei dieser 
Halbbüschel (bezw. eines) sind mit ^ß ? zwei (bezw. eines) mit 
O gleichartig. 
