506 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 1901. 
x = X divergiren. 1 ) Dabei wird es offenbar, ohne der All- 
gemeinheit Eintrag zu thun. gestattet sein, speciell X = 1 
anzunehmen. 
1. Ist die Reihe S a v convergent und ihre Summe = s , 
i 
so bestehen die beiden Bedingungen: 2 ) 
( 1 ) 
lim 
>l = OC 
\ • 2 • a i n • a„ 
(2) lim S 1 - ' ‘ = s (wo: s k = Xj 1 a,.). 
„= oo n I 
Jede dieser Beziehungen (die zweite in dem Sinne, dass 
der betreffende Grenzwerth irgend eine bestimmte Zahl s vor- 
stellt) ist also noth wendig für die Convergenz, dagegen 
erweist sich keine allein auch als ausreichend: der Be- 
dingung (1) genügt z. B. jede divergente Reihe, für welche 
lim n ■ a„ = 0 ist: 3 ) der Bedingung (2) unendlich viele inner- 
>i = cc 
halb endlicher Grenzen osciilirende Reihen, als deren einfach- 
cc 
ster Typus X/ ( — l) v_1 gelten kann. 
i 
Wohl aber sind beide Bedingungen zusammen genommen 
für die Convergenz von Xu v allemal auch hinreichend. 
Da nämlich: 
•5, — j— s 2 -j- . • . — D = >z - «i — J- (n — 1) • « 2 4" • • • -f" 1 * a » * 
so ergiebt sich durch Addition der Beziehungen (1) und (2) 
unmittelbar: 
Yt 1 1. 
lim __ (®j + + • • • + a ») = 
it = cc Yl 
] ) Natürlich „uneigentlich' 1 , da ja bei eigentlicher Divergenz 
von Sn y X’ allemal limip(oX) = ao sein müsste (vgl. a. a. 0. p. 41). 
e=i— u 
2 ) Ygl. a. a. 0. p. 44. 
3 ) Dies folgt unmittelbar aus dem bekannten Cauchy’schen Grenz- 
werth-Satze: „Es ist lim — = lim (A n — jä fl _j), falls der rechts- 
>1 = 00 »=CC 
stehende Grenzwerth existirt.“ 
