A. Pringsheim: Divergenz gewisser Potenzreihen. 
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also schliesslich: 
OO 
lim (ßj — J— Ctg — J— ... — rt #( ) :== ötj» = s. 
)t=00 1 
Es erscheint zweckmässig, dieses Resultat in folgender 
Weise ausdrücklich zu formuliren: 
Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
für die Convergenz von 2a v , also für die Existenz 
eines endlichen lim s H = s lässt sich in die beiden 
n = co 
Bedingungen (1) und (2) zerlegen, derart dass 
jede einzelne dieser Bedingungen als eine noth- 
ivendige , aber erst beide zusammen als hinreichend 
erscheinen. 
Hierzu sei noch bemerkt, dass die Beziehung (1) allemal 
die für die Convergenz nothwendige Bedingung: 
lim a n = 0 
n — oo 
in sich enthält. Ersetzt man nämlich in (1) n durch (n — 1), 
so folgt, dass für jedes beliebig kleine £ > 0 bei passender 
Wahl einer unteren Schranke für n die Ungleichung besteht: 
J 1 • a, -J- 2 • a 2 -j- • • • -f (n — 1) • a n -\ | < ( n — 1) • e. 
Da sodann auch: 
| 1 • a, -j- 2 • a 2 -|- . . . -j (n — 1) • a„_i + n • a n \ < n • e , 
so folgt durch Subtraction : 
\n ■ a n \ < (2 n — 1) • e, also a fortiori J a„ | < 2s, 
d. h. schliesslich : 
lim a n = 0. 
w=oo 
Etwas analoges findet bezüglich der Bedingung (2) nicht 
statt. Vielmehr sind gerade die zunächst sich darbietenden 
Beispiele von divergenten Reihen, welche der Bedingung (2) 
CO 
genügen (wie: )£’’ ( — durchweg von der Art, dass 
lim I a n nicht verschwindet. Es entsteht nun naturgemäss die 
