A. Pringsheim: Divergenz geivisser Potenzreihen. 
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Um Reihen dieser Art in der denkbar einfachsten Art 
wirklich herzustellen, wird man etwa alle diejenigen d v , welche 
in dem Reihen-Schema (5) jedesmal eine Zeile bilden, einander 
gleich setzen und zwar: 
(11) 
d, 
2A 
~ m k + 1 — nix 
also : 
2 A 
(12) 
mx+\-m>. 
2 A 
nix+i-nix 
für : m,_ -j- 1 < r < m >.+ \ , 
für : K,u<m ; . +I - mx 
für : (m;. + i-w;.)-t-l < u<2 (mx+i-nix). 
An die Stelle der Gleichung (4) tritt dann die folgende, 
für jedes 0,1,2,... gültige: 
(13) + l 2 "f" • • • = 2 A. 
Die so definirte Reihe 2a v genügt wiederum der Be- 
ziehung (10), während sie andererseits in den Grenzen 0 
und A oscillirt und auf Grund der ersten Bedingung (3) 
lim a v = 0 wird. Dabei wird man schliesslich noch die mx 
v—<x> 
am einfachsten etwa in der Weise fixiren, dass man setzt 
mx+ 1 — mx = (A -f- 1)? oder auch nix = AP+ 1 , wo p eine natür- 
liche Zahl bedeutet. 
3. 
Setzt man jetzt: 
$(#) = U*' a v x v , 
i 
L. Fejer aufmerksam gemacht hat — die Existenz derartiger Reihen 
mit Hülfe eines Satzes nachweisen, den letzterer in den Coraptes 
rendus (10. Dezember 1900) mitgetheilt hat. Darnach genügt die Summe 
einer Fourier ’schen Reihe, welche eine st etige (oder nur mit gewöhn- 
lichen Sprüngen behaftete) Function darstellt, durchweg der Bedingung 
(10). Da es nun nach Du Bois-Reymond stetige Functionen mit 
divergenter Fourier ’scher Reihen-Entwicklung giebt, so liefert jede 
solche Reihe, wenn man der Veränderlichen den Werth einer Divergenz- 
Stelle beilegt, ein Beispiel der verlangten Art. (Vgl. im übrigen die Be- 
merkung am Schlüsse von Nr. 3.) 
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