A. Pringsheim: Divergenz gewisser Potenzreihen. 
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nur: 
1 
1 
mj ^2m;+l 
ni), — m>.-\ nii+x — m- L 
2 
(14) 
m,.+i — ni>. 
(wenn man noch der Einfachheit halber 2A = 1 annimmt). 
Darnach wird aber 2 a v — a v +\ ! allemal convergent, wenn 
die mi so gewählt werden, dass 2 (m;._|_i — m;.) _1 convergirt, 
also z. B. Wa-i-i — m-,. = (A -f- l) p oder auch m>_ — Ap+‘, wo p > 2. 
Die zur Potenzreihe 2 a,, x r gehörige Randfunction f {x) 
ist dann bis in beliebige Nähe der Stelle x = 1 vollkommen 
stetig und für x — 1 selbst noch „nach Innen“ stetig. 
Fraglich bleibt nur noch das Verhalten von f ( x ) für die der 
Stelle x — 1 benachbarten Randpunkte, also das Verhalten 
von f (e ai ) in der Nähe von & = 0. Jedenfalls erscheint die 
Stetigkeit auch hier keinesfalls a priori ausgeschlossen. 
Gelänge es, dieselbe an irgend einem zweckmässig gewählten 
Beispiele der vorliegenden Art wirklich festzustellen, so wäre 
damit eine Frage in verneinendem Sinne entschieden, die ich 
in der zu Anfang citirten Arbeit noch als eine offene be- 
zeichnet habe: 1 2 * * * ) nämlicb, ob die vollkommene Stetigkeit der 
Randfunction stets auch die durchgängige Convergenz 
von ^(e' 7 ’) nach sich ziehen müsse. Durch die blosse Existenz 
von stetigen Functionen xp (ß) mit divergenter Fourier’- 
scher Reihenentwickelung wird, wie a. a. 0. des näheren aus- 
geführt ist, die Möglichkeit jener Annahme noch keineswegs 
beseitigt. 
4. Um den Frobenius’schen Satz in der angedeuteten 
Weise zu verallgemeinern schicke ich zunächst den folgenden 
Hülfssatz voraus: 1 ) 
b a. a. 0. p. 98. 
2 ) Dieser Hülfssatz ist auch geeignet, die etwas weniger einfache, 
einen analogen Zweck verfolgende Betrachtung zu ersetzen, welche ich 
beim Beweise des verallgemeinerten Abel’schen Satzes (a. a. 0. p. 348) 
benützt habe. 
