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(20“) 
Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1901. 
Ist: 
lim i 2> a r = lim ~ = A (p > 0), *) 
tl = CC /* 1 »irx W 
so ist Xj rf,.#’’ convergent für | x <1 und man hat: 
(20 b ) lim (1 — x) p • Xa a,. x v = T(p -f- 1) • A. 
aj=l 
somit 
Beweis: Aus (20“) folgt, dass auch: lim - ' = A und 
n = co 
lim = Hm ^ ^ = 0. 
ti=oc »i~co H p 
Da sodann für o < 1 : lim n p ■ o n = 0, so ergiebt sich durch 
»1 = 00 
Multiplication mit der vorhergehenden Gleichung: 
lim a„ q h — 0, 
»1 = 00 
sodass Xj «»• # v sicher für | x < <?, also schliesslich für \x <1 
con vergirt. 
Man hat dann wiederum, wie in Nr. 5 (s. Ungl. (17)): 
f ” ® 1 
ty(x) < 1 — x ■ | Xj 1 ' j s v -j- X j’' 
Aus der Voraussetzung: 
lim -^ = A 
»1 = 00 
folgt mit Berücksichtigung der bekannten Beziehung: 
0 Die zum Beweise dienlichen Schlüsse bleiben auch noch gültig 
für: 0 ~>p^> — 1. Die Reihe Zch-oc? ist alsdann für die Stelle x — 1 
nicht mehr divergent, sondern convergent und zwar mit der 
Summe lim s» = 0, wenn p <C 0. Die Gleichung (20 b ) macht also in 
>1 = 00 
diesem Falle eine bestimmte Aussage über die Art des Nullwerdens 
00 
von lim a r x r . Für den Fall p — 0 resultirt wiederum der Abel'- 
X=I , 
CO 
sehe Satz: lim Xj v a v x> = lim s». 
X=1 1 »1 = 00 
