338 Sit zung der math.-phyS. Classe vom 5. Mai 18S3. 
folgender. Er geht 46 berührend durch den 1. Knoten, 
15 berührend durch den 2., 26 berührend durch den 3., 
13 berührend durch den 1., 24 berührend durch den 2., 
35 berührend durch den 3. und kehrt 46 berührend zu dem 
1. Knoten zurück. x ) 
9. Diese eben betrachtete Fläche ist, wie schon bemerkt, 
eine der von Herrn Rodenberg als „ inverse“ bezeichneten 
Flächen. 1 2 ) Diese inversen Flächen erhielt Herr Klein zuerst 3 ), 
indem er ausgehend von einer Fläche mit vier Knoten zu- 
nächst durch den Prozess des Verbindens oder des Trennens 
der Knoten die andern Schlaefli’schen Arten erzeugte und 
hierauf, sofern es die Natur der Fläche gestattete , einen 
oder mehrere Knotenpunkte durch die biplanare Form hin- 
durch sich ändern liess. Herr Klein erhielt auf diese Weise 
eine Reihe neuer Flächen, so zumal aus einer Fläche 1 mit 
drei Knoten drei Flächen . welche er durch F, I ”, 1 " be- 
zeichnet, je nachdem er einen, zwei oder drei Knoten durch 
die biplanare Form hindurchgehen liess. Indessen zeigte 
Herr Rodenberg 4 ), dass die Flächen I und I” nicht wesent- 
lich verschieden sind, indem sie durch lineäre Transformation 
in einander übergeführt werden können, und dass aus dem- 
selben Grunde die Fläche I im Wesentlichen nicht ver- 
schieden ist von der Fläche I. Im Ganzen ergeben sich 
ihm nur folgende inverse Flächen: die eine Fläche 
T mit drei Knoten 
und die aus dieser durch Trennung der Knoten hervor- 
gehenden Flächen, 
1) Auf dem Modelle scheinen die unterhalb des Knotendreiecks 
verlaufenden Curvenzüge von einem Knoten zum nächsten durch das 
Unendliche zu gehen. 
2) Rodenberg „Zur Classification der Flächen dritter Ordnung.“ 
Math. Ann. XIV. p. 58. 
3) Klein a. a. 0. §. 5. 
4) Rodenberg „Classification“ etc. § 3. 
