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Sitzung der math.-phys. Klasse vom 9. Februar 1907. 
dem bewegten System S Bahnen a, b , c, d . die allgemeine 
Kardioiden (Pascalsche Kurven) sind und für die der Punkt D 0 
ein gemeinsamer Doppelpunkt ist. Für den Punkt | de- 
generiert die Kardioide c zu einem Kreis und für den Punkt A ß 
ist die Bahn eine gespitzte Kardioide d. Die Geraden x a , x ,, x 2 
sind Tangenten einer vierspitzigen Hypotrochoide 1 ), die auch 
Astroide genannt wird; und die Geraden ft 0 , ft, , ft 2 sind Strahlen 
eines Strahlenbüschels, dessen Mittelpunkt D 0 ist. Hieraus 
ergibt sich eine zwei-vierdeutige kinetographische Verwandt- 
schaft der Ebenen System X. S, d. h. einem Punkt in S 
entsprechen zwei Punkte in X und einem Punkt in X ent- 
sprechen vier Punkte in S. 
Bei dieser Bewegung rollt der über C s B s als Durchmesser 
beschriebene Kreis p s des Systems S, der mit dem Kreis c 
identisch ist, innerhalb eines doppelt so groben Kreises jr ß 2 ). 
Wir können auch für jene Kurven Tc s , * ß die Kreise p s , 
annehmen, und können die Punkte des rollenden Kreises p s 
und die Punkte des ruhenden Kreises 7r ß , die in Berührung 
kommen als zugeordnete Punkte betrachten ; dann sind jedem 
Punkt des rollenden Kreises p s zwei Punkte des ruhenden 
Kreises tt 6 zugeordnet, weil jeder Punkt des Kreises p s bei 
einer ganzen Umrollung an den Kreis ?r ß zweimal mit den- 
selben in Berührung tritt. 
Bei dieser Bewegung sind in dem System X die Bahnen 
der Punkte des rollenden Kreises p s Durchmesser des Kreises ji Ö) 
und ferner sind in dem bewegten System S die Bahnen der 
Punkte des ruhenden Kreises ji 6 gespitzte Kardioiden. 
Wenn ein Kreis p s innerhalb oder außerhalb an einem 
Kreis rollt, deren Radien in einem rationalen Verhältnis 
stehen, und eine identische Zuordnung der Punkte auf einer 
zentralen Geraden angenommen wird, dann erhalten wir eine 
kinetographische Verwandtschaft, bei der in beiden Systemen 
die Bahnkurven geschlossene Trochoiden und die Lagen der 
Geraden, Tangenten an gespitzten Trochoiden sind 3 ). Ferner 
l ) A. a. 0. S. 185. 2) A. a. 0. S. 37. 3 ) A. a. 0. S. 157. 
