G. Landsberg: Theorie der elliptischen Modulfunktionen. 
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Reilie konvergiert bei jeder Gliederanordnung, bei welcher die 
Reihe S l in (1) konvergiert und die Funktion des Quotienten 
— , die sie bei einer bestimmten Reihenfolge der Summation 
(0.2 
darstellt, steht in innigem Zusammenhänge mit den Funktionen 
» 7 , und r] 2 . Denn differenziiert man gliedweise nach co 1 und co 2 , 
so erhält man, falls man in (10) erst über m 2 und dann über m, 
summiert und co auf die positive Halbebene beschränkt: 
3 CP » ' . t-, ft)a 
- = ZjZj ; r -TS = v 2 
3 CO ^ mj rr\2 CO^ ~ I ^2 ^2/ 
3 cp v-' ft), co. 2 7ii 
3 ft> 2 m , ,„ 2 (m i co, + «V ft> 2 ft ) 2 
und hieraus folgt zunächst die Konvergenz der Reihe, weil die 
gliedweise Integration einer gleichmäßig konvergenten Reihe 
gestattet ist. Weiter aber ergibt sich aus den Gleichungen (11): 
(12) dcp = rj 2 dco , — rj 1 doo 2 — 2ni dlog (o 2 . 
Es bleibt also das Differential der Funktion: 
cp -{- 2 ji i log <o 2 
bei linearer Transformation der Perioden ungeändert, denn es 
ist infolge der Formeln (9): 
rj' 2 d co[ — rj\ d cü 2 = rjzdcOi — rj 1 da> 2 . 
Bilden wir daher die Funktion: 
(13) 9) + 2jrilog^ = SZ; 
ft), £? 2 ■ 
co 2 
m . 2 («, co, + ct) 2 ) (m, £>, + ß 2 ) 
+ 2^ilog^ 
so ändert sich diese bei jeder linearen Transformation entweder 
der Perioden co,, co 2 oder der Perioden Q v ü 2 nur um eine 
additive Konstante, und wenn man beide Periodenpaare der- 
selben linearen Transformation unterwirft, so ist die Konstante 
gleich Null, weil die Funktion verschwindet, falls die beiden 
