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Sitzung der math.-phys. Klasse vom 12. Januar 1907. 
analytischen Gebilde als Folge der Summationsänderung erkennen 
zu lassen. Im folgenden glaube ich eine Methode angeben zu 
können, welche jener Forderung genügt. Es ergibt sich, daß die 
beiden verschiedenen Doppelsummen, die zu verschiedenen Anord- 
nungen der Summenbildung gehören, direkt miteinander ver- 
gleichbar sind und daß ihre Differenz ein bestimmtes Integral 
o o 
ist, welches in jedem einzelnen Falle leicht ausgewertet werden 
kann. Der Kürze der Darstellung halber führe ich die Methode nur 
an dem Beispiele der Diskriminante ?/ (co) durch; sie bleibt aber 
auch für die übrigen in jenem Briefwechsel betrachteten Modul- 
funktionen anwendbar, und sie bedarf nur unwesentlicher Modi- 
fikationen, wenn andere als die hier untersuchten Änderungen 
der Summationsordnung in ihren Wirkungen diskutiert werden 
sollen. 
I. 
In der Theorie der elliptischen Modulfunktionen werden 
aus den beiden unabhängigen Variabelen a>,, co 2 die Summen: 
( 1 ) 
gebildet, welche über alle ganzzahlige Wertepaare («<,, n> 2 ) mit 
Ausschluß des Paares m 1 = m 2 — 0 erstreckt sind; dieselben 
konvergieren aber nur dann absolut und unbedingt, wenn n > 1 
ist. Für n = 1 hingegen ist der Wert der Summe von der 
Anordnung der Glieder abhängig; je nachdem man erst über 
m 1 und dann über m 2 oder in umgekehrter Reihenfolge summiert, 
erhält man die beiden Summen: 
^ = — rs und 
CO, m , (m l co, -j- m 2 <o 2 ) 2 
( 2 ) 
Vi_ — 
IO 2 mj nij (tyi j j ) 
wobei und j; 2 die beiden Perioden des Integrales zweiter 
Gattung, aufgefaßt als Funktionen der entsprechenden Perioden 
coj und co 2 des Integrales der ersten Gattung, bedeuten. Die 
