F. Thalreiter: Flächen eines dreifach linearen Systems. 
ri 1 a 2 = a n ~ 2 b n ~ 2 a m ~ 1 b' m ~ 1 \x 2 iaaa' b) (abb‘ a ) 
-j- a 2 (aa‘ xb) (bb‘ xa) — 2 a x x x (aa‘ x b) (abb‘ a) (7) 
— a x a x (a a‘ x b) ( bb' x a) -f- a x x x (a a‘ xb)(ab b‘ a)]. 
Diese Relation kann noch weiter vereinfacht werden; 
durch Vertauschung von a und b und indem man die halbe 
Summe des alten und neuen Ausdruckes bildet, geht das letzte 
Glied über in: 
a n - 1 b n — 2 a m ~ 1 b ' m ~ 1 x (aa‘ xb) (abb‘ a) 
= 4 a n ~ 2 b n - 2 a m - 1 - 1 * (abb‘a)\a (a a' xb) — b r (««' * a)\ 
— 4 a x ~ 2 b n x ~ 2 a'J" ~ 1 b' x m ~ 1 x x (a b b‘ a ) [a x ( a a' xb) — x x (aaa‘ b )\ ; 
Ebenso erzielt man durch Vertauschung von a und b: 
a »-I ln-2 a 'm-\ b'm-1 Q ( a a‘ X b) Q)b‘ X Ct) 
= i ~ 2 b“ ~ 2 a,'™ ~ 1 b ‘™~ ' (b b‘ x a) [a x (a a‘ xb) — b x (a a‘ x a)] 
= |a"- 2 fe»- 2 a x m - 1 b'J* ~'(bb‘ xa)[(a x (aa‘ xb) — x x (aaa‘ 6)]. 
Der Ausdruck (7) erhält jetzt die Form: 
p 2 a 2 = a n -' 2 b n ~ 2 a' m ~ l b' m - 1 [Xx 2 (naa‘b)(abb‘ a) 
\ a 2 x (aa‘ x b) (b b‘ xa) -j- a x x x (aa‘ x b) ( a b b‘ aj]. 
Für die 4. und 5. Kolonne der Determinante (4) pag. (5) 
lätst sich der Ausdruck (8) noch mehr umformen. Setzt man 
zuerst a = c, dann kommt: 
in — 1 ) a n ~ 2 b n ~ 2 a' m ~ l A"' _1 c n ~ l x (aa‘ xb)(cbb‘ a) 
= i. (n — 1) a n x ~ 2 b n x ~ 2 c x — 2 a'™~ 1 & x m_1 * x • ( cbb'a ) • [( aa'xc ) c t 
— (ca‘ x b) a x — (aa‘ x c ) b x \ 
= } f (n — 1) a n ~ 2 b n ~ 2 c n ~ 2 a m ~ l b' m ~ l x 2 (caa‘b)(cbb'a). 
•i V / X X X x x x 
Und weil noch die Gleichungen gelten: 
f — 0 und df = 0 , 
