302 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
p — q = — n (pn — qx) -{- ri 1 r‘ r n — n 2 p 
= — n(j)ji — qx) -j- n 2n ~ 1 r' n — ri i (pji t — q x x ); 
und somit erhalten wir, unter Benutzung von (36): 
(38) qx i = — pji 1 = r‘r n — n 2n ~ 3 r‘ n . 
Da x, y, z zueinander relativ prim sind, so können keine 
zwei der Zahlen p, q und r‘ einen gemeinsamen Faktor ent- 
halten; bezeichnet R eine ganze Zahl, so kann man deshalb 
setzen : 
(39) 
(40) 
7i x = — qRr‘, x 1 =pRr ‘ , r n — 3 r '»-i 
Die Gleichungen (34) werden demnach: 
pn = P n ~ 1 — n% q R, 
q n = q n ~ 1 -f- n^pr' R. 
= pqR. 
Es wird somit nach I) und I a ): 
2 x = p n -\- q n ~\- n 2n ~ 1 r' u — 2 p n — 2 ri 1 pqr' R, 
(41) 2 y = p n q n — n 2 n — 1 r ' n — 2q n 2n % pqr' R , 
2 z = p n — q n n 2n ~ 1 r‘ n = 2 n 2n ~ 1 r‘ n -}- 2 rppqr' R. 
Aus jeder dieser Relationen folgt: 
(42) p n — q n — 2 n 2 pqr‘ R -|- n 2n ~ ] r‘ n , 
was sich in Übereinstimmung damit befindet, dafä die Differenz 
pn — qn nac R (25) durch n 2 teilbar sein muh. 
§ 5, Der Fall I), wenn r 4 nicht durch n teilbar ist. 
Unter Anwendung der Gleichungen (31) erhalten wir aus 
(41) durch Potenzieren: 
x n ~ 1 = 1 + n 2 {zt -f q R >•') 
_ mod. n i . 
y n ~ 1 = 1 -f r (z — p R r‘) 
Da nun x — y nach I) durch rc 2n_1 teilbar ist, so folgt 
durch Subtraktion : *) 
(43) 
*) Dasselbe Resultat findet man, wenn man die Differenz p n2 — g» 8 
einmal aus den Gleichungen (41) und (3) bildet, das anderemal durch 
Potenzieren aus der Gleichung (42). 
