F. Lindemann: Das letzte Fermatsche Theorem. 
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wo <5 eine Zahl bezeichnet, die sich durch Potenzieren, d. h. durch 
Zurückgehen auf (42) leicht bestimmen labt; es wird nämlich: 
p n — q n = 2 n 2 pqr‘ Rq n ~ l -f- 4 n 3 v(pq r‘ R) 2 q n ~ 2 -(- <5 n 3 q " -1 
mod. rfi 
= 2n 2 pqr‘ R n 3 [2xr‘ — 2 r' 2 q n ~ 2 ö] mod. w 4 , 
wobei benutzt ist, daß pqR nach (47) im Faktor von n 3 durch 
1 ersetzt werden darf. Durch Vergleichung mit (42) folgt dann: 
(54 b ) <5 = 2 r' 2 q n ~ 2 — 2 xr‘ mod. n. 
Mittels (49) erhalten wir daher aus (54 a ): 
(54 c ) p — q = 2 r'n -}- 2w 3 r' [r‘ q n ~ 2 — x — (jz -{- x -f- p)] 
mod. n 3 . 
Hier muß nach (54) die eckige Klammer durch n teilbar 
sein; d. h. wir haben: 
Ti -f- 2 x -j- o = r' q"~ 2 mod. n. 
Multiplizieren wir beiderseits mit q, so kommen wir wegen 
der Relation (46) auf die Kongruenz (51) zurück, wodurch 
letztere von neuem bewiesen wird. 
Aus den drei Kongruenzen, von denen die dritte eine Folge 
der Relationen (46) und (30 c ) ist: 
p°- v = 1, q lv = 1 , p v q v = 1 mod. n, 
folgt, daß man: 
(55) p v = q v = e mod. n 
setzen darf, wenn e eine Zahl bezeichnet, die entweder durch 
+ 1 oder durch — 1 in Bezug auf den Modul n ersetzt werden 
darf. Sei also : 
(55 a ) p v = e -j- nn\ q v = e + n x‘, 
so folgt durch Quadrieren: 
(56) Ti — 2 £tz' -f- wti' 2 , x = 2ex‘ -j- nx' 2 . 
Zunächst soll die Kongruenz (44) für das Quadrat 
des Moduls n ergänzt werden. Es ist nach (53 a ), (54) 
und (55 a ): 
