30G Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
(57) 
]> n — q" = p — q -j~ n (j> 7i — q x) 
2 n 2 r'p v q y ~ 2 n 2 r‘ [1 -j- e(n‘ + x‘)n -p w 2 n' x‘] 
mod. w 5 . 
Die linke Seite ist nach (54) in Bezug auf den Modul n 3 : 
= 2 n r‘ -f n Ji (q -j- 2 n r ‘ ) — nqx 
= 2 n r‘ -j- n q (tt — x) -f- 2 n 2 r‘ ti . 
Wir erhalten also: 
(57 a ) q (.t — x) = — 2 r‘ + 2 n r‘ (1 — ti) mod. n 2 
und ebenso, indem man p und q vertauscht: 
(57 b ) p {ti — x) = — 2 r‘ -j- 2 n r‘ (1 — x) mod. w 2 . 
Die eine dieser Kongi’uenzen geht aus der anderen durch 
Anwendung der Relation (54) hervor. 
Auch die Kongruenz (54) können wir für die nächst 
höhere Potenz des Moduls erweitern. Setzen wir: 
(58) p — q = 2 n r‘ -j- r‘ ft n 3 , 
so läßt sich ft durch folgende Überlegung bis auf Vielfache 
von n bestimmen. Nach (58) ist: 
(58 a ) p" — q" = 2 n 2 r‘ q n ~ l -f- r‘ ft n 4 q n ~ l + 4 n 3 v r' 2 q n ~ 2 
-j- 8 n 3 
3 w — 3 
mod. n b . 
Der Vergleich mit (57) ergibt dann: 
2x + nft - 1- ivr“ q n ~ 2 -J- 8 
qn — 3 
— 2 e (jP -f x 1 ) -j- 2n n‘ x‘ mod. n 2 , 
oder, wenn wir 2 v durch n — 1 und x gemäß (56) durch 
2 e x‘ -|- n x‘ 2 ersetzen : 
(58 b ) 
2e(x‘ — n‘) — 2r‘q n 2 — n 
-f- 8 f ^ ^ — r' 2 q n 3 — 2 ri x‘ j mod. n 2 
ft + 2x' 2 + 2r'q"-* 
