308 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
und die Vergleichung mit (57 a ) oder (44) führt zu dem Re- 
sultate: r‘ = 0 mod. 3. 
Das entsprechende Resultat läßt sich für jede Primzahl 
n gewinnen. Wenden wir die Kongruenz (59) auf die Kon- 
gruenz (5S a ) an, so ergibt sich: 
p w — q u = p — q n(jp 7i — q x) 
2 n % r‘ q n ~ 1 -j- 4 n 3 r r‘ 2 q’ l ~' 2 9 n 3 r' 3 q n ~ 3 mod. n s 
und die linke Seite ist nach (59 a ): 
3§E 2 n r‘ -j- n l ^ r ‘ 3 q n ~ 3 -|- n q (ti — x) -j- 2 n % ti r‘ mod. n 4 . 
Wir erhalten also: 
( ti — x) q - ■ ■ — 2 r‘ -f- 2 n r‘ (1 — ti) 
mod. n 3 , 
womit die Kongruenz (57 a ) für den Modul n 3 vervollständigt 
ist. Setzt man dann weiter: 
(60 a ) p — q — 2 n r‘ -f- n 3 r' ft -)- , 
so läßt sich in analoger Weise bestimmen, indem man durch 
Potenzieren den Ausdruck p n — q’ 1 bildet und das Resultat mit 
demjenigen vergleicht, wie es sich ergeben würde, wenn man 
den Wert von p — q in die Identität (53 b ) einsetzt. Man er- 
hält so einen zu (58 c ) analogen Ausdruck für ti — x, der mit 
dem Ausdrucke (60) übereinstimmen muß, woraus sich dann 
eine Berechnung von (bis auf Vielfache von n) ergibt. 
Olfenbar kann man mit einem solchen Pendelverfahren fortfahren, 
und so die Kongruenzen (60) und (60 a ) für immer höhere Po- 
tenzen des Moduls ergänzen. 
Zur Durchführung dieser Schlußreihen ist es notwendig, 
die in (57) benutzte Kongruenz (53) zuvor für höhere Potenzen 
des Moduls sukzessive zu erweitern. Das kann auf folgende 
Weise geschehen. Infolge der Annahme (3) ist, wenn wir die 
Werte von x, y, z aus (41) einsetzen: 
( 60 ) 
+ wV^*+2(%-l)ry*- 2 -^ r'V- 3 j 
