330 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
Durch Anwendung der Gleichung (91) auf die Identität 
(102), erhalten wir ferner die zu (100 a ) analoge Kongruenz: 
(113) p“ 2 — q " 2 — r n2 = 2an 3 — nT p p H mod. n 3 . 
Die Kongruenz (101 a ) können wir demnach in der folgen- 
den Form erweitern; es ist: 
(114) — p n T p = q n T q r n T r mod. n 4 . 
Die hier aufgestellten Kongruenzen sind sämtlich 
eine Folge der Gleichung (91), unter der Voraussetzung, 
daß keine der Zahlen p n -f- q n , p n -f- r’\ q n — r n durch n 
teilbar sei. 
Um die Übersicht zu erleichtern, wollen wir noch folgende 
Bezeichnungen einführen; es sei: 
(q n — r n ) (T ip + a n 2 T 2p ) = n 2 S p , 
(1 14 a ) (r“ + p») ( T lq -a n 2 T 2q ) = n 2 S q , 
(qn _|_ pn') (Tu- — an 2 T- ir ) = n 2 S r . 
Die Kongruenzen (92), (94), (98), (99), (111), (112) lauten 
dann (mod. n 3 )\ 
(115) p n ( n -\) — r u(n-i) 2awV (n " 3) zz nT r — ri l q n S r , 
(11 5 a ) j - " 1 " -1 ' — qn(n-\) — 2anV" ( * -2) . = — n 2 p n S r , 
(11 5 b ) c»*— i) — g»(»-n _j_ 2 a n 2 q ,,(n -2) = nT q — ri l r n S q , 
(1 1 5 C ) — 2 = — nT q -\- n 2 p n S q , 
(11 5 d ) q n — p n - D — 2 a n 2 p n ( ” _2) = n T p — n 2 r n S p , 
(115®) — 2 a n 2 p u (,l_2) = nT p -J- n 2 q n S p . 
Multiplizieren wir nun (115) mit r’\ (1 1 5 b ) mit q n und 
bilden die Summe, so ergibt sich: 
pn(n— 1) (qn _j_ p.n') — — ^»2 _|_ g ^ 1) _|_ qn (»— 
n (r H T r -j- q" T q ) — n 2 q n r" (S r -j- S q ) mod. n 3 , 
oder, da q" -(- r n = p n — 2 a ri l ist: 
(116) p “ 2 — q n 2 — r“ 2 -f 2 an % = n (r n T r + q n T q ) 
— ri 1 q n r (S, -)- S q ) mod. n 3 . 
