332 Sitzung der matk.-phvs. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
Vermöge dieser drei Relationen werden die Kongruenzen 
(115) . . . ( 1 1 5 e ) auf die Relationen (119) und (120) reduziert. 
Die von uns aufgestellten Gleichungen und Kongruenzen 
sind sämtlich Folge des Bestehens der Gleichung (91) bzw. der 
Kongruenz (78). Für die Anwendung, welche wir im Auge 
haben, ist es wichtig, die Kongruenz (77) mit der Kongruenz: 
(122) p n2 — q n 2 — r” 2 = 0 mod. w 3 
in Verbindung zu bringen. Es fragt sich, ob beide Kon- 
gruenzen gleichzeitig bestehen können. 
Infolge von (122) sind nach (100 a ), bzw. (101) oder (113) 
jetzt die Zahlen T,, T q und T p durch ri 1 teilbar. Wir setzen: 
(123) p" 2 — q n 2 — r y ‘ 2 =2 y n 3 . 
Dann ist nach (113) und (114): 
(123 a ) 2yn 2 = 2an 2 — p n T p =. 2 a ri 1 -f- r n T r mod. n*. 
Alle vorstehenden Überlegungen und Rechnungen können 
in ganz derselben Weise durchgeführt werden, wenn man 
überall p ", q'\ r n , bzw. durch p v2 , q n 2 , r" 2 ersetzt. Besteht die 
Relation (123), d. h. wird gleichzeitig a durch yn ersetzt, so 
hat man offenbar in allen vorstehenden Kongruenzen die Potenz 
des Moduls um eine Einheit zu erhöhen. 1 ) Seien also T‘ r , S\- 
die Zahlen, welche aus T r , S r entstehen, wenn man p n 2 , q >>2 , r n2 
für p n , q n , r n einsetzt, so ist z. B. analog zu (92), wie man 
mittels der erwähnten Substitution aus (82) findet: 
ßrft ( n 1) (n — 1) ^ y yfi ^ 
n T‘ r — q" 2 (p n2 -f- q u2 ) (T[ — y n 3 7o) = n T‘ r — q n2 S‘ r n 2 mod. n i . 
Gemäß (83) ist hier also T Xr = T‘i r mod. n 2 , und somit 
auch TI, durch n 2 teilbar. Die links stehende Differenz ist 
durch n 3 teilbar und deshalb folgt, daß T' r auch durch ri 1 
teilbar ist, wie es wegen der Kongruenz T r = T‘ r mod. ri 1 selbst- 
verständlich war, denn nach (123 a ) ist jetzt: 
(1 23 b ) T r - 0 mod. ri 1 . 
0 Vgl. auch die Rechnungen im folgenden Paragraphen. 
