338 Sitzung der math.-pliys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
Drücken wir so die erste Summe durch die zweite aus, 
so erhalten wir aus (126): 
(126 b ) «(2»- 1 -l) = 3LI,-(i- 1) 2* -2 . ») 
Ferner ist nach (83) in unserem Falle (d. h. für q = r): 
nT\ q = q" (— 8 > £ Ni (i - 1) 2‘- 2. 
Man ersieht hieraus, daß die Bedingung T| S = 0 mod. n 2 
im Falle q = r in der Tat mit der Bedingung (125 a ) überein- 
stinnnt. 
Analog folgt aus (102), wenn man q" und r n durch 1 ersetzt: 
(127) 2 (1 — 2" _1 ) — £ Ni (— l)*- 1 2 b-2< + 2 
und aus (103) erhält man dasselbe Resultat. Beiläufig finden 
wir also die Relation: 
n £ Ni (— l)*- 1 2— 2< +! = _ 3 £ N t (i — 1) 2*- 2 . 
Soll im Falle q = r mod. n auch die Bedingung (122) er- 
füllt sein, so ist: 
l )" 2 EE 2 g" 2 mod. w 3 , 
während sich aus (125) durch Potenzieren ergibt: 
p nZ = 2 n q n2 mod. n 3 . 
Es müßte also die Bedingung: 
(127 a ) 2 n ~ l = 1 mod. n 3 
erfüllt sein. Wir fassen das Vorstehende in folgendem Satze 
zusammen: 
Wenn zugleich mit der Kongruenz (77) auch die 
Kongruenz (122) bestehen soll und die erstere Kon- 
gruenz nur für den Modul n 2 (also nicht für w 3 ) gilt, 
so ist das nur möglich, wenn eine der Zahlen p r. 
') Hieraus folgt beiläufig, daß die Zahl 2 n_1 — 1 für jede ungerade 
Zahl n durch 3 teilbar ist, wie man auch direkt leicht erkennt. 
