F. Lindemann: Das letzte Fermatsche Theorem. 
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§ 10. Der Fall III). 
Wir kehren nach diesen Vorbereitungen zu unserer ur- 
sprünglichen Aufgabe zurück, indem wir den Fall III) unter- 
suchen. Die Gleichungen (13), (13 a ) und (13 b ) geben hier: 
(129) 
nof y v — r n n — y»c«— ') — N t x ' 1 y '~ 1 r n(n 2 , +d ? 
• = 2 
n x v z v = q n n ^n(»- 2 «+n 
( — l) 1, w?/“'^ =jp” — v'f-IV- 1 m»(»-2»+D 
£ (-iy-i iV,- «/•'-’ 1 p n 
Nehmen wir zunächst an, es sei eine der Zahlen p, q , r 
durch n teilbar. Es sei etwa r diese Zahl. In der ersten 
Gleichung sind dann alle Glieder der rechten Seite, mit Aus- 
nahme des ersten, durch w 2,< + 1 teilbar, die linke Seite ist durch 
n teilbar: es ist folglich auch r u durch n teilbar. Dann aber 
enthält r“ den Faktor n n , folglich muh auch x v y v durch n n ~ ’ 
= ri iv teilbar sein, d. h. x oder y mühte durch n teilbar sein; 
das aber ist unmöglich, da x, y, z zueinander relativ prim 
sein sollen und da z — r ■ r n jetzt schon den Faktor n enthält. 
Wäre umgekehrt r n durch n teilbar, so mühte wegen der 
ersten Gleichung (129) auch r durch n teilbar sein, und wir 
kommen auf die soeben diskutierte Annahme zurück. 
Im Falle III) kann also keine der Zahlen x , y , z 
und keine der Zahlen p, q , r den Faktor n enthalten. 
Infolgedessen ergeben sich aus den Gleichungen (129) 
sofort die Kongruenzen: 
p* =p n ( n ~ D j = r n n = r n (n_1 ) mod. n, 
also auch nach dem Fermat’schen Satze (nach welchem 
p n =p ist): 
(130) p„=p n ~ l , q n = q n ~ l , r n = r n ~ 1 mod. n 
und hieraus: 
p n =\, 0»=1, r n = 1 mod. n. 
1907. Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. 
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