402 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
faßte, gar nicht bemerkt zu haben scheint). Ich habe in meiner 
Habilitationsschrift 1 ) für den Fall reeller positiver a^\ die noch 
gewissen einschränkenden Ungleichungen genügen, die Kon- 
vergenz festgestellt und die gleiche Frage außerdem für perio- 
dische Algorithmen auch im Fall komplexer a[. v) vollständig 
erledigt. In der gegenwärtigen Arbeit will ich nun auch be- 
liebige komplexe a[ r) in Betracht ziehen und für diesen Fall 
eine Reihe von Konvergenzkriterien aufstellen. Für n = 1, 
d. h. für die Kettenbrüche, ergeben sich daraus insbesondere 
auch das Fundamentaltheorem des Herrn Pringsheim, wo- 
nach der obige Kettenbruch allemal konvergiert, wenn durch- 
weg b y > 1 -j- a,. ist, späterhin (§ 4) aber auch einige neue 
Kriterien. 
Sind die Teilzähler und -nenner des Kettenbruches ganze 
rationale (positive oder negative) Zahlen, so besagt ein Satz von 
Legendre, daß der Kettenbruch, wenn durchweg b y >1+ a, 
ist, abgesehen von einem leicht angebbaren Ausnahmsfall, stets 
einen irrationalen Wert hat. Mit Hilfe dieses Satzes ergibt 
sich bekanntlich aus dem Lambertschen Kettenbruch für die 
Exponentialfunktion die Irrationalität der Zahlen e, e n , n u. a. m. 
Der Legendresche Irrationalitätssatz gestattet nun eine Aus- 
dehnung auf den Ja c ob i sehen Algorithmus, woraus dann ganz 
entsprechend gefolgert werden kann, daß zwischen gewissen 
Transzendenten keine lineare Relation mit rationalen Koeffi- 
zienten besteht (§ 9). Bei dieser Gelegenheit leite ich dann 
nicht nur das genaue Analogon zum Lambertschen Ketten- 
bruch her, sondern gebe gleichzeitig noch viel allgemeinere Ent- 
wicklungen an, welche der bekannten Kettenbruchdarstellung 
für den Quotienten zweier Besselschen Funktionen entsprechen. 
Weitere funktionentheoretische Anwendungen gedenke ich an 
ö Ö 
anderer Stelle zu veröffentlichen. 
l ) Grundlagen für eine Theorie des Jaco bischen Kettenbruch- 
algorithmus (Math. Annal. 64 (1907), pag. 1 — 76). 
