430 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7 . Dezember 1907 . 
Theorem IV. Wenn für v > 1 durchweg die Un- 
gleichung 
I «n v) + ! a? 1 ! + •••+ a (v) . I < I a (v) I — 1 
1 0 • i 1 1 '»—II = I n 
gilt, 1 ) und wenn außerdem die unendliche Reihe 
(!«!," -1) + (K>I — 
+ (l“i 1> | — l)(l«f| — 1)(K”| — !) + • ■ • 
divergiert, so ist die Kette 
'«(0) a 0) a (2) 
a<®, a a) , a l2 >, . . 
n 7 « 7 n 7 
unbedingt konvergent. 
Man bemerke, daß die einfacher gebaute Reihe 
(34) |am| + iay)a®| + |^>)a^fl®|-f ... 
infolge der geforderten Ungleichungen kleinere Glieder hat als 
die vorige. Die Kette ist daher a fortiori unbedingt konver- 
gent, wenn die Reihe (34) divergiert. Dies trifft insbesondere 
in dem wichtigen Fall, wenn alle — 1 sind, stets zu. 
Wir wenden uns jetzt zu der zweiten Möglichkeit, daß die 
Reihe (29) konvergiert. Dann kann gleichwohl lim | \ = oo 
A = co 
sein, und in diesem Fall ist die Kette sicher wieder konver- 
gent. Andernfalls aber nähern sich die Zahlen A^ | , da sie 
von X — 1 ab mit X monoton wachsen, einem bestimmten end- 
lichen Grenzwerte: 
lim \ = A, 
>. = *> 
der von keinem | A^ (A > 1) an Größe übertroffen wird, also 
wegen A l l "+ I) = ajj 0) 4 0 jedenfalls größer als Null ist. Nach 
den auch für 0 — 1 gültigen Gleichungen (21) in § 2 hat man: 
M Daß wir beim Beweis auch für v — 0 diese Ungleichung voraus- 
gesetzt hatten, schadet natürlich wieder so wenig wie bei Theorem II. 
