440 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
und hieraus wieder: 
a® < a a) 1+1. 
n = l n l 1 
Wegen der Periodizität bleibt \a M unter einer von X unab- 
o i n 
hängigen Schranke H, und folglich a w < R + 1. Q Daher 
ist auch : 
I ' ! -> g . 
oW I A, R + 1 ’ 
dieser Quotient bleibt also über einer von X unabhängigen 
positiven Zahl, w. z. b. w. Wir erhalten demnach: 
Theorem YI. Wenn bei einer periodischen Kette 
für v > 1 durchweg die Ungleichung 
K>i+ + + 
statthat, so ist sie unbedingt konvergent. 
Eigentlich ist das Theorem ja soeben bloß unter der 
Voraussetzung „lim = endlich' bewiesen worden; aber 
V — co 
im entgegengesetzten Fall ist die Kette ja ohnedies immer 
konvergent. 
0 Es wäre falsch, aus der Periodizität etwa schließen zu wollen, 
daß = a W ist, s0 daü für überhaupt bloß eine endliche An- 
zahl verschiedener Werte in Betracht käme. Ein solcher Schluß würde 
die Konvergenz bereits voraussetzen. Denn nach den Definitionsglei- 
chungen (22) ist: 
(«) 
K "U 
lim 
S = 
Av s — v — k) 
(»■- — y — k) 
iß) 
-(* + *) 
,0+D 
'o 
lim 
5 = “> . (v 4 . -v — 
0, r + fe 
— == <i\ ’ lim , 
s = x . ( v g — v — Ic) 
A 0,v 
letzteres wegen der Periodizität. Bevor aber die Konvergenz der Kette 
bekannt ist, kann die Gleichheit der Grenzwerte in (a) und (/?) auf keine 
Weise gefolgert werden, weil die Zahlen r s — v mit wachsendem s im 
allgemeinen eine ganz andere Wertereihe durchlaufen werden wie die 
Zahlen v s — v — k. 
