446 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
ist. so ist in der Bedingung b) das Gleichheitszeichen 
auszuschließen. Ebenso ist in der Bedingung c) das 
Gleichheitszeichen bei allen denjenigen v-Werten aus- 
zuschließen. für welche d, = 0 ist. 
Der Beweis ist folgender: Infolge der Bedingung a) des 
Theorems ist: 
'«(’+» + ä — 1>0. 
w 1 r l = 
Würde hier einmal Gleichheit stattfinden, so müßte auch jeder 
Term auf der linken Seite von a) verschwinden, also insbe- 
sondere: 
flW d = 0, a ( i r + 1) — a<;» d = 0, 
M r 7 0 1 v 7 
was aber wegen aj' 1 f 0, nicht möglich ist. Es ist 
also: 
a o +n _j_ s — 1 > 0, 
n 1 r 1 7 
und folglich kann man statt Ungleichung a) auch schreiben: 
fl^d 
0 r 
+ 
< +1) - 
- d 
1 v 
+ 
b 
at'+P - ft« d 
n — 1 n r 
a<”+» + d 
» 1 »• i 
- 1 
Wird diese Ungleichung für gewisse r - Werte nur durch die 
M ahl d,. = 0 erfüllt, so kann der links stehende Ausdruck, 
wenn d, sich hinreichend wenig von Null unterscheidet, wegen 
der Stetigkeit jedenfalls nur um beliebig wenig die Zahl j 9 
übertreffen. Man kann daher der Ungleichung 
a« d 
0 r 
+ j 
< +I) - 
- aj r) d 
! v 
a (. +D _ a (r) d 
n — 1 n v 
a<;+» + d r — 1 
<: d-f-e 
durch lauter von Null verschiedene d,. Genüge leisten, wie klein 
auch die positive Zahl e gewählt wird. Nimmt man insbe- 
sondere auch £ < 1 — 0. so wird eben nach Theorem A II Kon- 
vergenz stattfinden, wenn noch a' 1 > *9 -4- e ist. Da aber e 
beliebig klein gewählt werden kann, so ist diese Bedingung 
gleichbedeutend mit: 
a*' > 0, 
