458 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
2. Die Gleichung f (cc) = 0 ist im Bereich der ra- 
tionalen Zahlen irreduzibel, daher insbesondere ihre 
Wurzeln Oj, o 2 , ... g n alle voneinander verschieden. 
Wir behaupten nun, es ist: 
n 
( 59 ) K = 12y s e v s , 
s = 1 
wo die Koeffizienten y s von v unabhängig sind. Denn fordert 
man diese Gleichung zunächst für v = 0, 1, . . . n — 1, so 
hat man n lineare Gleichungen mit nicht verschwindender 
Determinante für die n Unbekannten y 1 , y 0 , . . . y , die hieraus 
eindeutig berechnet werden können. Da aber anderseits g 
eine Wurzel von f{x ) ist, so ist ”/’(p) = 0» oder, was das- 
selbe sagt: 
q' s - Q'r 1 + er 2 + ■ ■ ■ + er n - 
Der gleichen Rekursionsformel, wie sie hier für die Zahlen 
Q' s gegeben ist, genügen aber nach (54) auch die Zahlen Jc v . 
Daraus folgt, daß die Formel (59) für einen gegebenen Wert v 
richtig ist, sobald sie für die n vorhergehenden r -Werte be- 
steht. Sie gilt aber für v — 0, 1, ... n — 1, und folglich 
auch für alle größeren v. Zu bemerken ist noch, daß die 
Koeffizienten y v y.„ ... y alle von Null verschieden sind. Denn 
offenbar sind sie wegen der Irreduzibilität von f(x) konju- 
gierte algebraische Zahlen, die bzw. den Körpern von 
g g 0 , ... g n angehören; wenn daher eine gleich Null wäre, 
so waren sie alle gleich Null, was nicht angeht. 
Da > 1, sonst aber £> s j < 1 ist, so folgt aus (59): 
(60) Um ~ = t 0, 
r=oo Q j 
oder auch, was dasselbe sagt: 
Hm—] =y, 4 0. 
r=cc V j 
Folglich durch Division der zwei letzten Gleichungen: 
