468 Sitzung der raath.-phya. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
gleich die folgende Gleichung, welche die vorige als Spezialfall 
umfaßt : 
f\x) = x n — a 1 x n ~ x — a 2 x n ~ 2 — • • • — a„_i x — a„ = 0, 
wobei die a t - beliebige positive Zahlen sind, die den Unglei- 
chungen 
tij > a 2 > a 3 > ; • • • > a n > 0 
genügen. 
Nach der Descartesschen Zeichenregel hat f(x) eine 
und nur eine (einfache) positive Wurzel Es ist dann das 
Polynom f ( x ) teilbar durch x — , und man kann daher den 
Ansatz machen: 
(69) — — — (x— 1) = x n — b 1 x tl ~ l — b. 2 x n ~ 2 b n -\X — b n . 
CC Qi 
Zur Berechnung der Koeffizienten findet man, indem man 
mit dem Nenner x — ausmultipliziert, die Formeln 
b n — a n 
0] i ^ n ^ n i ^ n 
p.b „ — b , = a „ — a . 
n — 2 n — 1 n — 2 n — 1 
Da hier nach Voraussetzung a n > 0, im übrigen aber die rechts 
auftretenden Differenzen wenigstens > 0 sind, und da außerdem 
auch 0 j positiv ist, so lehren diese Formeln der Reihe nach: 
b n 0 , b n - 1 0 , . . . b-2 ^ 0 , bi 0 . 
Die bi sind also alle positiv; außerdem ist ihre Summe 
+ ^2 ’ ' ' + b n = 1 , 
wie sich ohne weiteres aus (69) für x = 1 ergibt. 
Wir beweisen nun: Die von 0 j verschiedenen Wur- 
zeln von f{x) sind alle absolut kleiner als 1. Ange- 
nommen nämlich, es sei 0 2 eine von q 1 verschiedene Wurzel, 
und man habe | 0 2 |> 1 . Dann ist 0 2 auch Wurzel des Poly- 
noms (69), und folglich: 
