0. Perron: Über die Jacobi-Kettenalgorithmen. 
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I Q n 2 =l 6 iP“ 1 + 2 H \-b n _ 1 Q,-\-b n \ 
<\ q 2 | n_1 4- b 2 q 2 n ~ 2 + fi ö„_! I e 2 I + b n x ) 
^ (b x + b 2 + ••• + &»- 1 + b „ ) | g 2 n ~ 1 = p 2 1 n_1 . 
Dies besagt aber o 2 <1, was der Voraussetzung \q 2 >1 wider- 
spricht; diese ist also unzulässig, und daher gewiß p 2 < 1 ; 
w. z. b. w. 
Wir nehmen nun weiter die Koeffizienten a { als ganze 
rationale Zahlen an. Dann ist: 
/'( 1) = 1 — a, — a 2 — • ■ • — a„ < 0 , 
t\ a i + 1) ^ («,+!)" - «, [(flj+l)— 1 + («!+!)— 2 +- 
■+(a,+l)+l] 
= (« i + l) n — «i 
(a, +!)"-! 
= 1 > 0 . 
Also liegt die positive Wurzel zwischen 1 und a, -J- 1, während 
nach obigem die anderen Wurzeln absolut kleiner als 1 sind. 
Daraus folgt aber auch sofort die Irreduzibilität des Poly- 
noms fix ) im Bereich der rationalen Zahlen; denn wäre es 
reduzibel, so hätte es wenigstens einen Faktor 
x k + f 1 x k ~ 1 H \-f k ~iX + f k 
mit ganzzahligen 2 ) Koeffizienten, dessen sämtliche Wurzeln 
absolut <1 sind, während doch ihr Produkt gleich ± /* , also 
absolut !> 1 ist. Die in den Paragraphen 6 und 7 benutzten 
Eigenschaften des Polynoms f(x) sind hiemit alle bewiesen. 
§ 9. 
Anwendungen. 
Um jetzt eine kleine Anwendung der entwickelten Kon- 
vergenzsätze zu geben, setzen wir : 
(70) 
00 z 
<P («, v) = s r( M + S ) /> + s)T 
x ) Unter Ausschluß der Gleichheit, weil o 2 als eine von ver- 
schiedene Wurzel nicht positiv sein kann. 
2 ) Nach einem bekannten Satz von Gauß. 
1907. Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. 
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