0. Perron: Über clie Kettenbruchentwicklung etc. 
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ziehen sich aber nur auf reelle Kettenhrüche und können in 
der Tat, wenn nicht nur h sondern auch z l reell ist, für die 
vorliegende Frage nutzbar gemacht werden, sodaß für diesen 
Spezialfall, aber auch nur für diesen die Mittel zu einem 
exakten Beweis von Schl ö milch im wesentlichen geliefert 
sind. 1 ) Trotzdem ist der ursprüngliche Schlömilchsche Be- 
weis, bei dem das schließliche Verschwinden des Restes 
ohne weiteres als ausreichend erachtet wird, nie angefochten 
worden, er scheint vielmehr noch heute für einwandfrei 
gehalten zu werden und wird sogar für beliebige Indices 
in Anspruch genommen. So ist er in die Monographie von 
Lomrnel 2 ) übergegangen und findet sich sogar auch in dem 
neuen Handbuch des Herrn Nielsen. 3 ) In letzterem ist auf 
pag. 38 zu lesen: „Sucht man nun die Bedingung dafür, 
daß der Kettenbruch unbegrenzt fortgesetzt werden darf, so 
ist offenbar, daß lim R n — 0 sein muß, eine Bedingung, 
die sowohl notwendig als hinreichend ist.“ Demgegen- 
über zeigt aber doch die einfachste Überlegung, daß die Be- 
dingung gewiß nicht notwendig sein kann; jeder regelmäßige 
Kettenbruch, dessen Teilnenner endlich bleiben, ist ein Beispiel 
dafür. Dagegen erweist sich hier die Bedingung allerdings, 
wie wir im nächsten Paragraphen sehen werden, bis zu einem 
gewissen Grad als hinreichend. Aber mit der Wendung „Es 
ist offenbar, daß . . . “ ist dies natürlich keineswegs bewiesen. 
Vielmehr ließe sich die Konvergenz des Kettenbruches noch 
mit triftigen Gründen bezweifeln. Denn wenn der Kettenbruch 
wirklich die Funktion 
Ju (z) 
darstellen soll, so wird man 
Jh — i (ß) 
Konvergenz wohl nicht erwarten, sobald z eine Nullstelle von 
Jk _ i (z) ist. Nachdem dann aber für eine gewisse unend- 
liche Menge von z -Werten die mögliche Divergenz des Ketten- 
9 Eine an Schlömilch anschließende, in jeder Hinsicht muster- 
giltige Durchführung dieses Spezialfalles findet sich bei Stolz und 
Gmeiner: Einleitung in die Funktionentheorie. Leipzig 1905, pag. 579 ff. 
2 ) Studien über die Besselschen Funktionen. Leipzig 1868. 
:i ) Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen. Leipzig 1904. 
