0. Perron: Über die Kettenbruchentwicklung etc. 
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darstellenden Kettenbrucli, nachdem er ins Unendliche fort- 
gesetzt ist, hinterher den Grenzwert für a = co berechnen. 
Schlömilch aber geht in den einzelnen Gliedern des Ketten- 
bruches zur Grenze a — oo über und macht sich dadurch einer 
ungerechtfertigten Vertauschung zweier Grenzprozesse schuldig. 
Das Verdienst, die Formel (4) zum erstenmal in ihrem 
vollen Umfang einwandfrei bewiesen zu haben, gebührt Herrn 
J. H. Graf, 1 ) der allerdings die Mängel der anderen Methoden 
selbst nicht erkannt zu haben scheint. Sein eleganter Beweis 
baut sich auf ganz anderer Grundlage auf als die früheren 
Versuche. Bezeichnet man den Zähler des w tcn Näherungsbruches 
des Kettenbruches 
„i 1 1 | i 1 , i ! .... 
^ \a + l ^ \a+2b T <j + 3 ( i t 
mit f n +i(a, b), so ist der Nenner des gleichen Näherungs- 
bruches gleich f n (a -f- b,b), wobei /j (a, b) = 1 gesetzt wird. 
Der Kettenbruch ist also konvergent, wenn der Grenzwert 
lim Mli 
fn (a + b, l) 
existiert, und er ist dann diesem Grenzwert gleich. Herr Graf 
stellt nun einen expliziten Ausdruck für die Funktion /„ (a, b) 
her und gewinnt daraus die Grenzbeziehung : 2 ) 
( 7 ) 
(2c_±2 
' H \ ix ’ ix) 
n T„ r(c + 1 + nj~ 
(i = V- 1 ). 
Ersetzt man hier n durch n -}- 1, und c durch c — 1, so kommt 
auch : 
9 Relations entre la fonction Besselienne de premiere ■ espece et 
une fraction continue. Annali di matematica, Reihe 2, Bd. 23 (1895). 
2 ) Eine Formel, die sich von dieser nur durch die Bezeichnungsweise 
unterscheidet, hat schon etwas früher auf anderem Weg Herr Hurwitz 
abgeleitet (Über die Nullstellen der Besselschen Funktion. Mathema- 
tische Annalen 33 (1889)). In dem Beweis von Herrn Graf kommt aller- 
dings eine Vertauschung von zwei Grenzprozessen vor; doch ist deren 
Rechtfertigung so leicht, daß sie ohne weiteres dem Leser überlassen 
werden konnte. 
