496 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Dezember 1907. 
ein beliebiger Kettenbruch, bei welchem selbstverständlich sämt- 
liche a r als von Null verschieden vorausgesetzt werden. Wählt 
man dann ganz willkürlich zwei Zahlen x n und x v deren letztere 
von Null verschieden ist, so kann man aus dem System (9) 
wegen a,. 4= 0 eine unbegrenzte Folge von Zahlen x r x v x v 
der Reihe nach berechnen. Die so gefundenen Zahlen genügen 
natürlich dem System (9), und wenn es erlaubt wäre, hieraus 
die Gleichung (10) zu folgern, so hätten wir damit wegen der 
Willkürlichkeit von x 0 und x 1 das absurde Resultat gewonnen, 
daß jeder Kettenbruch jeder Zahl gleich ist. Auch ist hienacli 
klar, daß, selbst wenn für die Konvergenz des Ketten- 
bruches (10) ein eigener Beweis erbracht werden kann, dies 
durchaus noch nicht ausreicht, um die Gleichung (10) aus dem 
System (9) zu folgern. 
Dagegen lassen sich sehr wohl gewisse zusätzliche Bedin- 
O O ö 
gungen für die Zahlen a v , b,., x,. angeben, deren Erfülltsein 
dafür ausreicht, daß das System (9) die Gleichung (10) nach 
sich zieht. Ich will nur ein derartiges Kriterium beweisen, 
welches uns für den gegenwärtigen Zweck gute Dienste leisten 
wird. Es lautet: 
Wenn die (komplexen) Zahlen a,.(=F 0), b x r das Glei- 
chungssystem (9) befriedigen und außerdem von einer 
gewissen Stelle v~> N ab den Ungleichungen 
x , 1 j> (1 + | a v |) | x r+ 1 1 + | a, + 1 x v+2 > 0 
genügen, so besteht auch die Gleichung (10), sofern 
nur x l 4 0 ist. Für x 1 — 0 aber ist notwendig x 0 £ 0 
und der Kettenbruch (10) ist eigentlich divergent. 
Vermöge (9) kann man x n und x x linear durch x y und 
x r +\ ausdrücken, und zwar geschieht dies durch die Formeln: 
X 0 = Ay^lXy -f a v Ay- 2 X V + l 
X j = By _ 1 Xy — J- O y By — 2 OCy 1 , 
wobei die Koeffizienten A y , B y den Gleichungen genügen : 
