0. Perron: Über die Kettenbruchentwicklung etc. 
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K + 
b. 
+ 
+ 
+ 
'1 I 2 I 3 
die a,.(^0),b y ganze rationale Zahlen sind, welche von einer 
gewissen Stelle v i> N + 1 ab der Ungleichung 
b v ^ 1 -J- dy 
genügen, so ist der Kettenbruch konvergent und hat einen 
irrationalen Wert, es sei denn, daß von einem bestimmten v 
an durchweg a y <L 0, b v = 1 -\- \ a y ist. 
Herr Pringsheim hat zwar den Beweis dieses Satzes in 
der auf Seite 498 zitierten Arbeit nur für den Fall durchgeführt, 
daß die Ungleichung b v > 1 -j- i a y ! schon von v — 1 ab besteht. 
Es ist aber leicht zu sehen, daß der Satz gleichwohl in diesem 
weiteren Umfang gilt. Denn es ist jetzt jedenfalls 
Ar- fcr+ • 
O.V+l | O.v+2 
eine irrationale Zahl. Indem man dann wieder in (17) A = N 
setzt, sodann durch B V -\ <N dividiert und v unbegrenzt wachsen 
läßt, erhält man : 
A v + N - i 
(26) 
(27) 
lim 
v = x -Lß v — 1 1 
= Ax - 1 ßx + ay Ax - 2 
lim 
By 4- A'~ 1 
V — By 1 
= Bx— 1 ßx cix Bx— 2 • 
Nun ist zu beachten, daß dieser letzte Ausdruck notwendig 
von Null verschieden ist. Denn da alle a y , b y rational sind, 
so gilt das gleiche von Bx- 1 , Bx— 2 . Aber ßx ist irrational; 
also könnte der Ausdruck nur dann verschwinden, wenn gleich- 
zeitig Bx— 1 = 0, Bx— 2 = 0 wäre, was bekanntlich nicht möglich 
ist (wegen Gleichung (13) für v = N — 1). Man kann also 
(26) durch (27) dividieren und findet so: 
A y Ay — 1 ßx -f- a X Ay—l 
y — x B v By-] ßx -j- ay Bx— 2 
Daher ist unser Kettenbruch in der Tat konvergent und hat 
einen irrationalen Wert. Der obige Bruch könnte ja offenbar 
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