Treppenpolygone und deren funktionentheoretische Anwendung. 35 
benachbarte Ecken haben, andernfalls würde ja eine weitere 
Eckenfolge, also auch eine weitei-e Rückkehrseite entstehen. 
Somit liefert also jene eine Rückkehrseite jedenfalls ein End- 
stück. Dieses ist aber auch stets ein freies: zunächst kann 
keinesfalls einer der Endpunkte des Treppenweges im Innern 
desselben oder auf dem Querschnitt liegen, denn ist etwa < X, 
so genügen ja die Abszissen x (aller Punkte des Treppen- 
weges, da er im Innern des Parallelstreifens x = Xq, x = ^ 
verläuft) der Bedingung Xq<^x <. X. Träte also überhaupt 
irgend ein Teil des Treppenweges in das Innere jenes End- 
stücks oder an den zugehörigen Querschnitt, so müßte er auch 
wieder umkehren, was ja die Existenz einer weiteren Rück- 
kehrseite nach sich ziehen würde. 
Enthält der Treppenweg mehrere Rückkehrseiten, so muß 
es unter diesen eine oder auch mehrere einander gleiche kürzeste 
gegeben. Dann liefert aber wieder jede solche kürzeste Rück- 
kehrseite CC‘ ein freies Endstück. Gehören nämlich zu C 
und C‘ nicht gleich weit entfernte Nachbarecken, so muß, 
wenn etwa die am nächsten gelegene Ecke zu C‘ benachbart 
ist, einer der beiden durch Fig. III und IV charakterisierten 
Fälle eintreten^), und das so entstehende Endstück muß ein 
freies bleiben, da ja bezüglich eines etwaigen Eindringens 
eines Endpunktes des Treppenweges die bereits im vorigen 
Falle erörterte Unmöglichkeit bestehen bleibt, andererseits auch 
kein anderer Teil des Treppenweges in das Innere jenes End- 
stückes eintreten oder mit dem abschließenden Querschnitt ein 
Stück gemein haben, ohne die Existenz einer noch kürzeren 
b Ist eine Rückkehnseite vorhanden, bei welcher einer der End- 
punkte des Treppen Weges die Stelle einer benachbarten Ecke vertritt, 
so kann eine solche Rückkehrseite niemals als einzige auftreten: diese 
Möglichkeit scheidet also in dem vorliegenden Falle von vornherein aus. 
(Vgl. auch die Fußnote auf p. 40.) 
Es kann nicht etwa der Treppenweg in dem durch Fig. IV dar- 
gestellten Falle beim Punkte D nach der entgegengesetzten Richtung 
abbiegen, da ja auf diese Weise eine Rückkehrseite DC“ <iCü‘ ent- 
stehen würde. 
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