Treppenpolygone und deren funktionentheoretische Anwendung. 37 
trennte Stücke, ein , oberes“ und ein „unteres“, deren 
jedes einen zusammenhängenden Bereich bildet. 
Beweis. Der ausgesprochene Satz gilt zunächst, falls der 
Treppen weg ein monotoner ist, wie man unmittelbar erkennt, 
wenn man den letzteren aus einer Horizontalen, welche den 
Parallelstreifen in ein „oberes“ und ein „unteres“ Stück zer- 
legt, durch sukzessives Ansetzen treppenförmig gelagerter Recht- 
ecke entstehen läßt. 
Angenommen nun der Satz sei für irgend einen speziellen 
Treppenweg T erwiesen. Ist dann P ein innerer Punkt des 
einen Teilbereiches, etwa des oberen, so muß eine durch P 
gezogene, nach abwärts gerichtete Vertikale den Treppen weg T 
mindestens in einem, eventuell in einem ersten Punkte P‘ 
schneiden. Für einen anderen, nicht gerade der Strecke PP' 
ungehörigen^) Innenpunkt Pj des oberen Teilbereiches mag 
P[ die analoge Bedeutung haben. Alsdann bildet der Linien- 
zug PP'(T)PIPi, wo (T) das zwischen P' und P'i liegende 
Stück von T bedeutet, einen die Punkte P und Pj verbindenden 
Treppenweg. Bedeutet nun d eine positive Zahl, die höchstens 
so groß ist, wie die kleinste Seite und der kleinste Abstand 
zweier paralleler Seiten von T, auch höchstens so groß, wie 
jede der Strecken PP', P\P\ und ihre kleinsten Abstände von 
den zwischenliegenden Vertikalseiten von T, und wird "2 
angenommen, so läßt sich dem Treppenwege T ein aus Innen- 
punkten des oberen Bereiches bestehender, im Abstande d' 
parallel zu den Seiten von T verlaufender Treppenweg t zu- 
ordnen, der PP' im Punkte P", P\P'i im Punkte Pi treffen mag. 
Wird das zwischen P" und Pi liegende Stück von t mit (t) 
bezeichnet, so bildet der Linienzug PP"(T)Pj'P, einen durch- 
weg aus Innenpunkten des oberen Bereiches bestehenden, die 
Punkte P und Pj verbindenden Treppenweg, dessen Existenz 
Der Fall, daß Pj auf PP' liegen sollte, ist zu trivial, um in dem 
vorliegenden Zusammenhänge eine Erörterung zu erfordern. 
