Treppenpolygone und deren funktionentheoretische Anwendung. 39 
die von einem beliebigen Innenpunkte F des oberen Bereichs 
nach abwärts gerichtete Vertikale, falls sie nicht einen bzw. 
einen ersten Punkt von T' trifft, der dem ursprünglichen Treppen- 
wege T angehört, die obere Seite des eingeschalteten Recht- 
eckstückes treffen muh, so daß also die Fußpunkte der von 
zwei solchen Punkten P, P, gefällten Vertikalen zunächst 
durch ein gewisses Stück (TO des Treppenweges T' verbunden 
erscheinen. Diesem letzteren läßt sich aber, da in der un- 
mittelbaren äußeren Nachbarschaft der fraglichen Rechteck- 
seiten ausschließlich Innenpunkte des oberen Bereiches liegen, 
ein aus solchen Punkten in einem gewissen Abstande d' ver- 
laufender Parallelweg z' zuordnen, so daß schließlich P und 
Pj gerade so, wie zuvor, durch einen aus lauter Innenpunkten 
des oberen Bereiches bestehenden Treppeuweg verbunden wer- 
den können. 
Nun kann nach dem zuvor bewiesenen Lehrsatz jeder 
Treppen weg der näher bezeichneten Art durch Abschneiden 
freier Endstücke auf einen monotonen reduziert werden. Er 
läßt sich daher auch umgekehrt aus diesem letzteren durch 
sukzessives Ansetzen jener Endstücke wieder hersteilen. Hier- 
aus, im Zusammenhänge mit dem bisher gesagten ergibt sich 
aber die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes. 
6. Lehrsatz III. .leder Treppenweg der bisher be- 
trachteten Kategorie besitzt ebensoviele Ecken der 
einen, wie der anderen Art. 
Beweis. Bei der Reduktion des Treppen weges auf einen 
monotonen gehen ungleichartige Ecken stets paarweise ver- 
loren. Da andererseits der resultierende monotone Treppenweg 
gleich viel Ecken beiderlei Art besitzt (eventuell gar keine, 
falls er sich auf eine horizontale Gerade reduziert), so erkennt 
man unmittelbar die Richtigkeit der obigen Behauptung. 
Zusatz. Die Lehrsätze I und III bleiben auch gültig, 
wenn der Treppen weg, statt ganz im Innern des betrachteten 
Parallelstreifens zu verlaufen, diesen lediglich nicht über- 
schneidet, also eventuell mit den begrenzenden Vertikalen 
