Treppenpolygone und deren funktionentheoretisclie Anwendung. 41 
fangspunkte, ein zweites Mal erreicht wird; mit anderen Worten : 
ein geschlossener Treppen weg ist eo ipso ein einfach ge- 
schlossener Weg ohne Doppelpunkte. 
Lehrsatz 1. Jedes Treppenpolygon 77 zerlegt die 
Ebene in zwei getrennte Gebiete, deren jedes einen 
zusammenhängenden Bereich, einen inneren und einen 
äußeren, bildet. 
Beweis. Es seien und X, wo etwa wieder x^ < X, 
die äußersten Abszissen, denen noch Punkte des Treppenpoly- 
gons entsprechen, so daß also das letztere noch eine oder 
mehrere Seiten mit je einer der Vertikalen x = x^ und x = X. 
gemeinsam hat, dieselben aber nicht überschneidet. Wir wollen 
vorläufig annehmen, daß das Treppenpolygon nur je eine Seite 
mit diesen Vertikalen gemein hat, etwa AA' und 7?i?'. Die 
beiden an AA' bzw. anstoßenden horizontalen Seiten 
mögen mit AC, Ä'C‘ bzw. BB, B' D' bezeichnet werden. 
Dann soll zunächst gezeigt werden, daß der von C aus weiter- 
führende Treppenweg im Punkte D, also der von C ausgehende 
in B' einmünden muß. Angenommen, der Treppenweg führe 
von C nicht nach B, sondern nach B' (wie in der neben- 
stehenden Figur IX durch die punktierte Linie schematisch 
angedeutet ist), so würde der Treppenweg AC . . . B'B' den 
IX 
