Treppenpolygone und deren funktionentheoretische Anwendung. 45 
dessen scheint mir der gewöhnlich dafür gegebene, auf voll- 
ständiger Induktion beruhende Beweis^) unzureichend. Dabei 
wird nämlich etwa folgendermaßen geschlossen: Bezeichnet man 
mit a>„ die Summe der Innenwinkel eines beliebigen w-Ecks, 
durch Vielfache von ti ausgedrückt, und beachtet, daß ein 
(n — •1)-Eck in ein w-Eck mit neu hinzutretender ausspringen- 
den oder einspringenden Ecke übergeht, wenn man an eine 
Seite des {n — 1)-Ecks ein Dreieck nach außen oder innen 
ansetzt und an Stelle jener Seite in die Begrenzung aufnimmt, 
so ergibt sich in jedem der beiden genannten Fälle die Rekur- 
sionsformel I ^ 
0)n = a>n-i -t 
aus der dann, wegen co^ = Ji, in der Tat das fragliche Resultat 
(o„ — (n — 2) 71 unmittelbar hervorgeht. Das Unzureichende 
dieser Schlußweise liegt indessen darin, daß dabei ohne jede 
Begründung vorausgesetzt wird, es könne jedes %-Eck durch 
die angedeutete Operation aus einem gewissen (n — 1)-Eck 
hergestellt werden oder, was offenbar auf dasselbe hinausläuft, 
man könne jedes w-Eck dadurch in ein (n — 1)-Eck ver- 
wandeln, daß man die nicht gemeinsamen Endpunkte zweier 
benachbarter Seiten durch eine Gerade verbindet. Diese An- 
nahme ist aber nur dann einwandfrei, wenn feststeht, daß stets 
mindestens zwei benachbarte Seiten vorhanden sind, deren End- 
punkte sich durch eine Gerade verbinden lassen, ohne daß 
diese mit irgend einer anderen Polygonseite einen 
Punkt gemein hat. Die Tatsache selbst dürfte richtig sein: 
ob sie jemals streng bewiesen wurde, möchte ich dahingestellt 
lassen, da ich in dem betreffenden Zweige der mathematischen 
Literatur sehr wenig bewandert bin^). 
1) S. z. B. Baltzer, Elemente der Mathematik, Bd. 2: Viertes Buch, 
§ 3, Nr. 10. 
2) Während der Drucklegung dieser Arbeit wurde mir durch Herrn 
A. Rosenthal mitgeteilt, daß sich die fragliche Ergänzung zu dem 
Beweise des Satzes über die Winkelsumme eines Polygons in zwei Pub- 
likationen jüngeren Datums findet, nämlich: W. Killing und H. Hove- 
stadt, Handbuch des mathemat. Unterrichts, I (Leipzig 1910), p. 62 — 67; 
N. J. Lennes, American Journal of Mathematics 33 (1911), p. 42 — 47. 
