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A. Pringsheim 
Will man sich darauf beschränken, den Satz über die 
Winkelsumme lediglich für ein Treppenpolygon durch das 
obige Induktionsverfahren abzuleiten, so hätte man zuvor nur 
zu erweisen, daß die Seitenzahl jedes Treppenpolygons stets 
durch Abschneiden oder Ansetzen eines Rechtecks reduziert 
werden kann, was sich durch die Beweismethode des Lehr- 
satzes I von § 1 leicht begründen ließe und merklich weniger 
Umstände macht, als die der vorliegenden Untersuchung als 
Endziel zu Grunde liegende Feststellung, daß die fragliche 
Reduktion stets durch bloßes Abschneiden von Rechtecken 
erzielt werden kann. 
3. Zwei parallele Seiten bzw. Stücke von Seiten, deren 
senkrechte Verbindungslinien abgesehen von den Endpunkten 
aus lauter Innenpunkten des Treppenpolygons bestehen* *), 
sollen gegenüberliegend heißen. 
Lehrsatz III. Verbindet man zwei gegenüberlie- 
gende Seiten eines Treppenpolygons durch eine senk- 
rechte Gerade, so zerlegt dieselbe, als Querschnitt 
aufgefaßt, das Treppeupolygon (und zwar sowohl Be- 
(jrenzung, wie Innenfläche) in zwei Treppenpolygone. 
Beweis. Wir betrachten zunächst zwei beliebige^) 
parallele Seiten bzw. Stücke von Seiten AB^ CD, deren senk- 
rechte Verbindungslinien von keiner anderen Seite geschnitten 
werden, und zeigen, daß zu diesen stets entgegengesetzte 
Richtungen gehören, wenn das Treppenpolygon 11 in einem 
bestimmten Richtungssinne durchlaufen wird®). Angenommen, 
dies wäre nicht der Fall, so daß also AB und CD in der- 
selben Richtung, etwa, um eine Festsetzung zu trelFen, in der 
*) Damit ist also implicite gesagt, daß solche parallele Seitenstücke 
nur so lange „gegenüberliegend“ beißen, als ihre senkrechten Verbin- 
dungslinien mit keiner anderen Seite des Treppenpolygons einen Punkt 
gemein haben. 
*) D. b. also: nicht notwendig im Sinne der oben gegebenen Defi- 
nition „gegenüberliegende“. 
Vgl. hierzu die Fußnote 1) auf p. 48. 
