Treppenpolygone und deren f'unktionenUieoretische Anwendung. 49 
zontale, wie durch vertikale Querschnitte mindestens 
zwei freie Eckstücke abschneidenQ. 
Beweis. Ein Treppenpolygon mit 2 w -Seiten besitzt alle- 
mal {m — 2) konkave Ecken. Von jeder dieser letzteren aus 
läßt sich nach beliebiger Wahl ein Querschnitt in horizontaler-, 
wie in vertikaler Richtung ziehen. 
Man gehe nun von einer beliebig gewählten konkaven 
Ecke aus, etwa, um eine Festsetzung zu treffen, derjenigen 
konkaven Ecke Cj, welche als die erste auftritt, wenn man das 
Treppenpolygon von dem tiefsten linken Eckpunkt anfangend 
in positiver Richtung umläuft, und ziehe von (7, zunächst 
einen horizontalen Querschnitt welcher also das Treppen- 
polygon 11 in zwei solche zerlegt: ein „unteres“, d. h. an die 
untere Seite des Querschnittes sich anschließendes, //, und ein 
„oberes“ 77^. Möglicherweise ist /7j dann schon ein Recht- 
eck, also ein durch den Querschnitt q^ abgeschnittenes freies 
Endstück von 77. Wenn nicht, so ziehe man von derjenigen 
konkaven Ecke aus, welche bei Fortsetzung des positiven 
Umlaufs als nächste zum Vorschein kommt, einen weiteren 
horizontalen Querschnitt q^, durch welchen 77j in zwei Teil- 
polygone n\ und TJi zerfällt. Dabei soll 77{ dasjenige Treppen- 
polygon bedeuten, dessen Begrenzung beide Querschnitte q^ 
und q^ enthält, während dann diejenige von 77^ nur aus dem 
einen Querschnitte q^, im übrigen aus lauter Seiten des ur- 
sprünglichen Polygons 77 besteht. Da die konkave Ecke 
und einen vertikalen Querschnitt der fraglichen Art zuläßt; ferner, 
wenigstens in Bezug auf die eine Querschnittsrichtung, bei denjenigen 
Achtecken, deren zwei (einzigen) konkaven Ecken in einer horizon- 
talen oder vertikalen Geraden liegen. 
') Dies ist nicht so zu verstehen, daß sich stets zwei Endstücke 
durch horizontale und zugleich zwei andere durch vertikale Quer- 
schnitte abtrennen lassen müßten. Vielmehr könnten diese beiden Arten 
von Endstücken teilweise zusammenfallen (vgl. § 1, p. 34, insbesondere 
das zu Fig. IV und VI — VIII gesagte), so daß lediglich die Wahl zwischen 
beiden freistünde. 
Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. l‘J15. 
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