Treppenpolygone und deren funktionentheoretische Anwendung. 51 
zerfällt^), läßt sich (auf mehrfache Art) in der 
Weise aus Rechtecken zusammensetzen, daß um 
einen rechteckigen Kern sukzessive weitere Recht- 
ecke angesetzt werden, wobei jedes neu hinzu- 
kommende Rechteck nur längs einer Seite ganz 
oder teilweise mit einem einzigen der bereits vor- 
handenen Rechtecke zusammenhängt. 
Beweis, Zunächst lassen sich von dem Treppenpolygon 
etwa durch horizontale Querschnitte mindestens zwei, even- 
tuell auch eine größere Anzahl von freien Endstücken ab- 
schneiden, die durchweg mit der Nummer 1 bezeichnet werden 
mögen. Jedes dieser Rechtecke stößt nur längs des Quer- 
schnittes, welcher eine Seite oder auch nur einen Teil einer 
Seite bildet (vgl. Fig. III— VII) au das übrig bleibende Treppen- 
polygon. Das letztere besitzt mindestens vier Ecken weniger, 
als das ursprünglich und gestattet, falls es nicht bereits ein 
Rechteck ist, oder schon durch einen Horizontalschnitt in 
zwei Rechtecke zerfällt, ein weiteres Abschneiden von min- 
destens zwei weiteren freien (genauer gesagt: durch die erste 
Operation frei gewordenen) Endstücken, die dann die Num- 
mer 2 erhalten sollen. Fährt man in dieser Weise fort, so 
wird schließlich, etwa nach der (k — 1)*®” derartigen Operation 
ein einziges Rechteck übrig bleiben, dem also die Nummer k 
zukommen würde.^) Alsdann läßt sich aber offenbar das ur- 
sprüngliche Treppenpolygon in der Weise wieder hersteilen, 
daß man an das Rechteck mit der Nummer k zunächst das- 
jenige oder diejenigen mit der Nummer (k — 1), an das so 
Vgl. p. 48, Fußnote 2). 
2) Man kann leicht eine obere Grenze für die Zahl Je angeben. Bei 
jeder der ersten (Je — 2) Operationen gehen mindestens 4 Ecken verloren, 
bei der (Je — l)ten möglicherweise nur 2. Alsdann bleiben noch die 
4 Ecken des mit Je numerierten Kernrechtecks übrig. Darnach hat man, 
wenn mit 2 m die Eckenzahl des gegebenen Treppenpolygons bezeichnet 
wird : 4 (A: — 2) -|- 2 -|- 4 2 m, also : 
4 * 
