Treppenpolygone und deren funktionentheoretische Anwendung. 55 
drate, diejenige der Beziehung ^ (x | I <^ii i ^* 12 ) 
für das zweite und folglich auch für das (den Konvergenz- 
hereichen dieser Reihen gleichfalls gemeinsame) dritte Quadrat 
des zweiten Parallelstreifens. So fortschließend findet man, 
daß die obige zweite Folge von Potenzreihen für den zweiten 
und dritten Parallelstreifen eine daselbst eindeutige und regu- 
läre analytische Funktion definiert, welche im zweiten Parallel- 
streifen mit der bereits durch die erste Serie von Potenzreihen 
definierten vollständig übereinstimmt. Und durch Fortsetzung 
dieses Verfahrens läßt sich schließlich das ganze Rechteck 11' 
mit einem System von Potenzreihen belegen, deren Konvergenz- 
bereiche sich in analoger Weise teilweise überdecken. Dabei 
hat man nur bei der Ausdehnunor der Entwicklungen auf den 
obersten Parallelstreifen, falls nicht zufällig d' — d sein sollte, 
vielmehr der (allgemeine) Fall d' < d eintritt, das Verfahren in 
der Weise zu modifizieren, daß man als Mittelpunkte der be- 
treffenden Potenzreihen-Entwicklungen nicht die auf der letzten 
Teilungs- Horizontalen gelegenen Gitterpunkte, sondern die- 
jenigen benützt, die auf einer im Abstande d zur oberen Seite 
des Rechtecks R' gezogenen Parallelen liegen (in der Figur 
die Punkte . . . d„_j). 
Die Gesamtheit der so hergestellten Potenzreihen definiert 
eine im Innern und auf der Begrenzung von R' eindeutige 
und reguläre analytische Funktion / (a;). Zu jeder Stelle von 
R' gehört ein und nur ein bestimmtes Funktionselement und, 
auf Grund des oben näher beschriebenen Ineinandergreifens 
der verschiedenen Potenzreihen, ist jedes andere auf jedem 
beliebigen, dem Bereiche R' angehörenden Wege daraus ab- 
leitbar. Insbesondere kann das nunmehr der Stelle zuge- 
hörige Funktionselement kein anderes sein, als die ursprünglich 
vorgelegte Potenzreihe ^o)- Denn auf dem speziellen 
Wege, welcher zuerst dazu diente, ']3o(iC a:^) in ‘j? (yj rt,j) über- 
zuführen, ließe sich bekanntlich — allenfalls mit Einschal- 
tung geeigneter Zwischenpunkte — auch die Rückbildung von 
'ß(a; a„) in 'ißo(^ Xg) bewerkstelligen. Da es ferner freisteht, 
den mit d bezeichneten .Abstand von R' und R unbegrenzt 
