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G. Mittag-Leffler 
wo X die Veränderliche und a eine beliebig ffewählte Kon- 
stante bedeute. Diese Reihe definiert in einem Kreise C mit 
dem Mittelpunkt a und dem Radius r eine analytische Funktion. 
Sie bat die charakteristische Eigenschaft, in jedem innerhalb 
C gelegenen Bereich gleichmäßig konvergent und andrerseits 
in jedem Punkte außerhalb G divergent zu sein. 
Man nennt den Bereich C den Konvergenzkreis oder 
Konvergenzbereich der Reihe — a). Diese letztere Aus- 
drucksweise, Konvergenzbereich, soll bei jedem arithmeti- 
schen Ausdruck Anwendung finden, der im Innern eines Be- 
reiches konvergent, aber in jedem Punkte außerhalb diver- 
gent ist. 
In (1) werde die Substitution ausgeführt: 
(2) {x — a) — {x‘ — a) (1 -j- u). 
Dabei soll x‘ im Innern von C angenommen werden. Nach 
dem Weierstraßschen Satz über iterierte Reihen^) können wir 
die Reihe (1) in eine neue Reihe nach steigenden Potenzen 
von « umordnen: 
'^5((a;'-a)(l-|-?0) 
^/^ /.Ca-l)...(/.-v-l-l) 
wofür man schreiben kann : 
(3) 
{(x' — a) (1 -f iO) = £ f £ — a}" tr 
r = 0\/< =0,'< • / 
Die innere Summation geht hierbei der äußeren voraus. 
Nach dem gleichen Satz von Weierstraß weiß man, daß 
die Reihe (3) sicher konvergiert, wenn |w| so klein gewählt 
B Karl Weier straß, „Zur Funktionenlehre (Aus dem Monatsbericht 
d. Kgl. Akad. d. Wiss. vom 12. August 1880“). Werke, Bd. 2, S. 205 — 208. 
Über die Terminologie , mehrfache Reihe“ und „iterierte Reihe“ 
sehe man „Encyclop. des Sciences mathematiques, T. 1, vol. 1, 
Fase. 2, S. 255, Note 128. 
