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G. ilittag-Letfler 
der Theorie der analytischen Funktionen geradezu an die 
Spitze zu stellen ist. 
Indessen möge zunächst die Konvergenz der iterierten 
Reihe — a, x — x‘') betrachtet werden, in der x‘ dem 
Innern von C angehören soll und x dem Innern des Kreises 
Cx', der einem gegebenen Punkt x‘ entspricht. Wir bezeichnen 
mit D die Gesamtheit der Punkte x, die so erhalten wird, 
wenn jeder Punkt nur ein einziges Mal gezählt wird. Die 
Konvergenz hört dann auf, wenn x außerhalb D oder x‘ außer- 
halb C gelegen ist. Dies folgt offenbar aus der oben erwähnten 
Tatsache, daß eine Potenzreihe für jeden innerhalb ihres Kon- 
vergenzkreises gelegenen Bereich gleichmäßig konvergiert, da- 
gegen in jedem Punkte außerhalb dieses Kreises divergiert. 
Nehmen wir nun an, daß x' einen innerhalb C gelegenen 
Bereich durchlaufe, ebenso x einen entsprechenden Bereich im 
Innern von D. Unter diesen Voraussetzungen ist die Reihe 
'j? {x' — a, X — x‘) für diese beiden Bereiche gleichmäßig kon- 
vergent. 
In der Tat, nehmen wir zwei positive Größen & und ^ 
beide kleiner als eins an und bezeichnen mit Qx' den Radius 
des Kreises Cx- mit dem Mittelpunkt x‘. Wenn der Punkt x' 
das Gebiet x‘ — a\^&r durchläuft, möge x die entsprechen- 
den Bereiche x — x‘\'^&Ox' durchlaufen; dieser Bereich, den 
X durchläuft, wenn wir jeden Punkt nur ein einziges Mal 
zählen, heiße D. 
Es sei nun mit g die obere Grenze von ^ {x‘ — a, x — x‘) 
im Innern oder auf der Begrenzung des Bereiches I) bezeichnet. 
Dann gibt der Satz von Cauchy -Weierstraß U) 
1 i; 
j’! ,«=o g- 
A. Cauchy, ,Resume d’un memoire sur la mecanique celeste 
et sur un nouveau calcul appele calcul des limites (lu ä l’Academie de 
Turin, dans la seance du 11 Octobre 1831)“. Exercises d’Analyse et de 
Physique Mathematique, Bd. 2. Paris 1841, S. 53, Gleichung (9). 
Karl Weier straß, „Zur Theorie der Potenzreihen. Münster, im 
Herbst 1841.“ Werke, Bd. 1, S. 67—74. 
