über die analytische Darstellung etc. 
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halb des Sterns. Im zweiten Falle konvergieren zwar die Aus- 
drücke für jeden Bereich im Innern von A, aber die Be- 
dingung, dah in jedem Punkte außerhalb Divergenz bestehen 
.soll, wurde unterdrückt. 
Man kennt seit der im Jahre 1880 veröffentlichten Arbeit 
von Weier.straß „Zur Punktionenlehre“ den wesentlichen Unter- 
schied, der zwischen einem arithmetischen Ausdruck^) und der 
analytischen Funktion besteht. Man kann es geradezu als die 
allgemeine Regel bezeichnen, daß ein arithmetischer Ausdruck 
verschiedene analytische Funktionen darstellt, und als be- 
merkenswerte Ausnahme, wenn der Ausdruck nur ein und den- 
selben Funktionszweig darstellt, aber außerhalb eines gewissen 
Bereiches keinen Sinn mehr besitzt. Gerade dieser letztere 
Fall liegt bei der Taylorschen Reihe und ebenso bei (37) 
und (53) vor. Insoferne also diese Ausdrücke diese wesent- 
liche Eigenschaft der Taylorschen Reihe aufweisen, stellen sie 
eine wirkliche Verallgemeinerung dieser Reihe dar. 
Was nun andrerseits die Ausdrücke (48), (51) und (55) 
betrifft, so liegt gar nichts besonders Bemerkenswertes in der 
Tatsache, daß sie außerhalb Ä bei passender Wahl der Kon- 
stanten Cg, Ci, . . . konvergieren können. Man kann 
tatsächlich Ausdrücke dieser Art bilden, die für Kontinuen 
außerhalb A konvergent sind und für diese Kontinuen analy- 
tische Funktionen darstellen, die mit der 
durch die Konstanten Cg, c^, c.^ ... c,, .. . 
definierten Funktion nichts zu tun haben. 
Es ist sogar der Fall nicht ausgeschlos- a 
sen, daß ein solcher Ausdruck gleich- 
, . . Die starken Linien sind Teile 
mäßig für einen zweidimensionalen Be- Begrenzung des stems. 
0 Monatsber. d. Kgl. Akad. d. Wiss. vom 12. Aug. 1880. Weier- 
straß, Werke, Bd. 2, S. 201—233. 
Die Bezeichnung „arithmetischer Ausdruck“ im Gegensatz zu „ana- 
lytische Funktion“ findet sich bei Weierstraß nicht. Sie wurde in diesem 
Sinne anscheinend das erste Mal in der Abhandlung: „Sur la represen- 
tation des fonctions monogenes uniformes . . .“ von G. Mittag-Leffler 
angewendet. Acta Math., Bd. 4, S. 1—79. 
