über die analytische Darstellung etc. 
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definiert ist, und konvergiert nicht allein im Innern des Haupt- 
sternes A, sondern er ist sogar für jeden Bereich 0 < a; < X 
gleichmäßig konvergent, wo X eine beliebig große positive Zahl 
bedeutet. 
Die Ergänzung des Borelschen Satzes durch Herrn Phragmen 
ist von Bedeutung. Man kann tatsächlich sehr elegante Aus- 
drücke vom Typus (56) bilden, die F'Ä(x)^) darstellen. Man 
mußte daher fragen, ob es nicht hier möglich wäre, was im 
Falle des Herrn Borei 
tu ^ 
lim ^ (r, m) ’’ {x — a)’’ 
m = x ,,_0 I’. 
nicht anging, nämlich Ausdrücke von der Form (56) zu finden, 
die nirgends außerhalb A konvergent sind. 
Das eben behandelte Problem hat nichts zu tun mit einem 
anderen, von welchem Herr Borei eine interessante Lösung 
gefunden hat. ^) Er weist durch ein sehr sinnreiches Beispiel 
die Existenz analytischer Funktionen nach, die eine auf natür- 
liche Weise definierte lineare Fortsetzung über ihren Existenz- 
bereich hinaus besitzen. Um zu diesem Ergebnis zu gelangen, 
muß man den Begrilf der Derivierten erweitern. Man geht 
nämlich nicht mehr durch alle Punkte in der Umgebung eines 
bestimmten Punktes zur Grenze über, sondern nur durch solche 
Punkte, die eine auf gewisse Weise definierte, überall dichte 
Menge bilden. Das Wesentliche ist, daß die Funktion in ihrem 
ganzen Existenzbereich durch die Gesamtheit ihrer Derivierten 
in einem bestimmten Punkt eindeutig gegeben ist. Kennt man 
Beispielsweise : 
FA {x) lim 
(a-D! 1 
(a-2)!2! ^ /’ 
a = 
00 
siehe M ittag-Leffler, ,Sur la representation arithraetique des fonc- 
tions analytiques generales d’une variable complexe.' Atti del IV Con- 
gresso internaz. dei Matematici. Roma, 6 — 11 Aprile 1908, S. 82. 
-) Emile Borei, , Definition et domaine d’existence des fonctions 
monogenes uniformes.“ Proceedings of the fifth international congress 
of Mathematics, vol. I, S. 133 — 144. 
