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H. Licbinann 
und ihre Umkehrung die Punkte P' des Raumes P' in oo® Ge- 
rade s des Raumes P, so bestehen, wenn dabei die Geraden s 
einem linearen Komplex (Nullsystem) angehören sollen, nur 
zwei Möglichkeiten, nämlich 
1 . die Geraden s‘ sind die TrelFgeraden eines Kegel- 
schnitts K‘ , 
2 . die Geraden s' sind die Tangenten einer Fläche zweiten 
Grades. 
Hierzu ist noch zu bemerken, daß der Satz zur Konstruk- 
tion der Abbildungen in keiner Weise benützt werden kann, 
er weist nur auf Möglichkeiten hin, und er spricht aus, daß 
es außer den — wie gesagt durch rein projektive Konstruk- 
tionen herstellbaren — Abbildungen, welche diese Möglich- 
keiten verwirklichen, keine weiteren geben kann. 
I. Die Geraden-Kugeltransformation. 
Die erste Abbildung, aus der übrigens die Liesche Transfor- 
mation wird, wenn der ausgezeichnete Kegelschnitt K' der ima- 
ginäre Kugelkreis ist, läßt sich in folgender Weise aufbauen.^) 
Im Gegenstandsraum P und im Bildraum P' sind je zwei 
Punkte A, B und Ä‘, B' gegeben. Sodann werden die Ge- 
raden durch Ä den Ebenen a[ durch Ä‘ linear („korrelativ“) 
zugeordnet, eine Zuordnung, bei der zugleich den Ebenen o, 
durch A die Geraden M durch A“ entsprechen ; sie möge mit 
— > ol) oder (oj — >h\) bezeichnet werden und ihre Umkeh- 
rung mit (al — > Aj) oder auch (Al — >■ o,). Ebenso .sollen auch 
die Geraden durch B den Ebenen o'z durch B‘ und damit 
die Ebenen durch B den Geraden h'z durch B^ linear zuge- 
ordnet werden, was mit (A2 — > oz) bzw'. (02 — bezeichnet 
wird. Diese beiden Zuordnungen sollen aber nicht völlig un- 
abhängig voneinander sein, es wird nämlich die Beschränkung 
auferlegb, daß dem gemeinsamen Strahl Aq der beiden Strahlen- 
bündel (A) und (P) in (Aj — n\) und in (A2 — ^02) beidesmal 
dieselbe Ebene 0Ö entspricht. 
') Vgl. hierzu Lie-Scheffer.s, a. a. 0., S. 446 ff. 
