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11. Liebmann 
Betrachten wir jetzt die Umkehrung (P' — >s). Es gilt 
wie oben der Satz, daß die Bilder der Punkte P' einer System- 
geraden s' die Schnitte entsprechender Ebenen zweier projek- 
tiven Ebenenbüschel sind, deren Achsen durch P gehen, nur 
artet die projektive Zuordnung jetzt in eine Perspektive aus, 
denn den beiden Strahlen t'i und ^2, die den Schnittpunkt S' von 
s' und öö mit Ä' und B' verbinden, ist in (Ai — ►oi) und (Aj — >^02) 
beidesmal dieselbe Ebene zugeordnet, d. h. diese Ebene, 
welche die Achsen der projektiv zugeordneten Ebenenbüschel 
enthält, entspricht sich selbst. Es ergibt sich also der Satz: 
Durchläuft P' eine Systemgerade s\ so bilden die ent- 
sprechenden Strahlen s ein ebenes Strahlenbüschel durch P 
(dessen Ebene in der Folge mit r bezeichnet werden soll). 
(Beiläufig bemerkt, kann man nun noch zeigen, daß die 
Ebenen t sich um eine Achse q drehen, wenn P eine Gerade g 
durchläuft, und dadurch tritt dann die Beziehung P — ^ t als 
Nullsystem deutlich hervor. Legt man nämlich durch zwei 
Punkte Pj und Pg von g die zugehörigen Ebenen Tj und 
so schneiden sie einander in einer Geraden q, deren Punkte Q 
einerseits den Systemgeraden ^P, , anderseits den System- 
geraden QP^ perspektivisch zugeordnet sind. Bei der Abbil- 
dung (P-->s') gehen Pj und Pj in zwei Erzeugendes!, S2 des 
Bildes P2 von g über, die Bilder der Punkte Q aber sind eben- 
falls Systemgerade s', also Treffgerade von K\ die sich über- 
dies auf sl und S2 stützen, also der Fläche angehören. 
Jede Gerade des einen Systems von geradlinigen Erzeugenden 
der F» (d. h. die Bilder aller Punkte P), schneidet aber alle 
Geraden des andern Systems, und hieraus folgt, daß die Ver- 
bindungsstrahlen eines beliebigen Punktes P von g mit den 
Punkten Q, von q lauter Systemgeraden s sind, d. h. daß t 
sich um q dreht, wenn P auf g wandert.) 
Ein einfaches Beispiel einer derartigen Berührungstrans- 
formation ist gegeben durch die beiden Gleichungen 
